2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопрос по спец.функциям
Сообщение29.03.2015, 18:32 
Заморожен


24/06/14
358
Здравствуйте. Мне нужно решить дифференциальное уравнение следующего вида:
$F''+(k^2-(a/x)^2)F=0$, где $F=F(x)$ - искомая функция, $k$, $a$ - константы. Если бы $a$ имело вид $a^2=l(l+1)$, где $l$ - целое, то решение было бы линейной комбинацией функций $J_{l+1/2}(kx)/\sqrt{x}$ и $Y_{l+1/2}(kx)/\sqrt{x}$, где $J$ И $Y$ - функции Бесселя и Неймана соответствующих индексов. Но в моем уравнение $a^2$ не целое. Можно ли решить этом случае уравнение с помощью вышеуказанной линейной комбинации, просто полагая индекс $l$ не целым?
В справочниках решение нашел только для целого случая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по спец.функциям
Сообщение29.03.2015, 18:40 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
Сделайте замену $F(x)=u(x)\sqrt x$, более-менее уравнение Бесселя и выйдет.

-- Вс мар 29, 2015 19:42:31 --

Kirill_Sal в сообщении #997468 писал(а):
Но в моем уравнение $a^2$ не целое.

Функции Бесселя определены далеко не только при целых (ну или полуцелых там, неважно) значениях индекса

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по спец.функциям
Сообщение29.03.2015, 18:51 
Заморожен


24/06/14
358
Уравнение $u''+2u'/x+(k^2+(a/x)^2)u=0$ - это не совсем Бессель. В Бесселе перед $a^2$ стоит минус. Тут получается функции Бесселя вообще чисто мнимого индекса. Что это такое ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по спец.функциям
Сообщение30.03.2015, 00:50 
Заслуженный участник


25/02/08
2909
Kirill_Sal
Это вы не так преобразуете. После замены $\[F = {x^{\frac{1}{2}}}u(x)\]$ (соотв. $\[F'' = {x^{\frac{1}{2}}}{x^{ - 2}}({x^2}u'' + xu' - \frac{u}{4})\]$)
имеем уравнение $\[{x^{ - 2}}({x^2}u'' + xu' - \frac{u}{4}) + [{k^2} - {(\frac{a}{x})^2}]u = 0\]$, группируя $\[u'' + \frac{{u'}}{x} + [{k^2} - {(\frac{{4a + 1}}{{2x}})^2}]u = 0\]$. Стандартный Бессель в чистейшем виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по спец.функциям
Сообщение30.03.2015, 22:30 
Заморожен


24/06/14
358
Да, в знаке я ошибся. А вот асимптотики функции Бесселя с мнимым индексом мне все равно оказались нужны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по спец.функциям
Сообщение30.03.2015, 22:43 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
Kirill_Sal в сообщении #998229 писал(а):
асимптотики функции Бесселя с мнимым индексом

Но это уже ни разу не бесселя. В бесселях потенциал принципиально отрицателен, тем они и интересны. А при положительных потенциалах -- ну не знаю, зачем может понадобиться; посмотрите, скажем, в Абрамовитце со Стиган, у них много чего есть, авось и комплексные индексы тоже найдутся.

 Профиль  
                  
 
 Re: немного спец.функций и теории рассеяния
Сообщение30.03.2015, 23:07 
Заморожен


24/06/14
358
Это справочник по спец.функциям? Я там и смотрел по-моему, ничего не нашел.
Предыстория, зачем мне это понадобилось, такая: решаю задачу рассеяния с потенциалом $b/r^2$. Если поиграться со знаком $b$ и тем, как этот параметр соотносится с моментом импульса, то можно заметить, что с амплитудой начнут происходить всякие гадости.
Это немного не в тему этого форума, но насколько я знаю, математики тоже изучают теорию рассеяния.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group