Вопрос по спец.функциям

[Kirill_Sal]

Здравствуйте. Мне нужно решить дифференциальное уравнение следующего вида:
$F''+(k^2-(a/x)^2)F=0$, где $F=F(x)$ - искомая функция, $k$, $a$ - константы. Если бы $a$ имело вид $a^2=l(l+1)$, где $l$ - целое, то решение было бы линейной комбинацией функций $J_{l+1/2}(kx)/\sqrt{x}$ и $Y_{l+1/2}(kx)/\sqrt{x}$, где $J$ И $Y$ - функции Бесселя и Неймана соответствующих индексов. Но в моем уравнение $a^2$ не целое. Можно ли решить этом случае уравнение с помощью вышеуказанной линейной комбинации, просто полагая индекс $l$ не целым?
В справочниках решение нашел только для целого случая.

[ewert]

Сделайте замену $F(x)=u(x)\sqrt x$, более-менее уравнение Бесселя и выйдет.

-- Вс мар 29, 2015 19:42:31 --

Kirill_Sal в сообщении #997468 писал(а):

Но в моем уравнение $a^2$ не целое.

Функции Бесселя определены далеко не только при целых (ну или полуцелых там, неважно) значениях индекса

[Kirill_Sal]

Уравнение $u''+2u'/x+(k^2+(a/x)^2)u=0$ - это не совсем Бессель. В Бесселе перед $a^2$ стоит минус. Тут получается функции Бесселя вообще чисто мнимого индекса. Что это такое ?

[Ms-dos4]

Kirill_Sal
Это вы не так преобразуете. После замены $\[F = {x^{\frac{1}{2}}}u(x)\]$ (соотв. $\[F'' = {x^{\frac{1}{2}}}{x^{ - 2}}({x^2}u'' + xu' - \frac{u}{4})\]$)
имеем уравнение $\[{x^{ - 2}}({x^2}u'' + xu' - \frac{u}{4}) + [{k^2} - {(\frac{a}{x})^2}]u = 0\]$, группируя $\[u'' + \frac{{u'}}{x} + [{k^2} - {(\frac{{4a + 1}}{{2x}})^2}]u = 0\]$. Стандартный Бессель в чистейшем виде.

[Kirill_Sal]

Да, в знаке я ошибся. А вот асимптотики функции Бесселя с мнимым индексом мне все равно оказались нужны.

[ewert]

Kirill_Sal в сообщении #998229 писал(а):

асимптотики функции Бесселя с мнимым индексом

Но это уже ни разу не бесселя. В бесселях потенциал принципиально отрицателен, тем они и интересны. А при положительных потенциалах -- ну не знаю, зачем может понадобиться; посмотрите, скажем, в Абрамовитце со Стиган, у них много чего есть, авось и комплексные индексы тоже найдутся.

[Kirill_Sal]

Это справочник по спец.функциям? Я там и смотрел по-моему, ничего не нашел.
Предыстория, зачем мне это понадобилось, такая: решаю задачу рассеяния с потенциалом $b/r^2$. Если поиграться со знаком $b$ и тем, как этот параметр соотносится с моментом импульса, то можно заметить, что с амплитудой начнут происходить всякие гадости.
Это немного не в тему этого форума, но насколько я знаю, математики тоже изучают теорию рассеяния.