2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференцируемые симметричные функции
Сообщение03.02.2008, 20:37 


10/01/07
285
Санкт-Петербург
О строго выпуклых симметричных функциях $F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$, $G:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ известно следующее:
(1) $F$ и $G$ непрерывно дифференцируемы по каждому из аргументов, причем $F'_x(x,y)\neq 0$, $G'_x(x,y)\neq 0$ тогда и только тогда, когда $x\neq y$;
(2) существует функция $p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, такая, что:
$F'_x(x,y) = p(x)G'_x(x,y)$ для всех $x$ и $y$ из $\mathbb{R}$.

Следует ли из этого, что $p(x)\equiv const$?

P.S. Например, если $F$ и $G$ дважды непрерывно дифференцируемы, то ответ на данный вопрос утвердительный:
дифференцируем (2) по $y$ и используем тот, факт, что у симметричных функций смешанные частные производные $F''_{xy}$, $G''_{xy}$ тоже симметричны. Следовательно, $p$ - также симметричная функция, что возможно, только если $p(x)\equiv const$.

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.02.2008, 00:15 
Заслуженный участник


22/01/07
605
Выпуклые функции дважды дифференцируемы почти всюду - теорема А.Д. Александрова.
Так что равенство $F_{xy}(x,y)=p(x)G_{xy}(x,y)$ должно быть выполнено п.в. Не достаточно ли этого?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.02.2008, 19:47 


10/01/07
285
Санкт-Петербург
Спасибо за наводку! Надо посмотреть.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group