Дифференцируемые симметричные функции

[Mikhail Sokolov]

О строго выпуклых симметричных функциях $F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$, $G:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ известно следующее:
(1) $F$ и $G$ непрерывно дифференцируемы по каждому из аргументов, причем $F'_x(x,y)\neq 0$, $G'_x(x,y)\neq 0$ тогда и только тогда, когда $x\neq y$;
(2) существует функция $p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, такая, что:
$F'_x(x,y) = p(x)G'_x(x,y)$ для всех $x$ и $y$ из $\mathbb{R}$.

Следует ли из этого, что $p(x)\equiv const$?

P.S. Например, если $F$ и $G$ дважды непрерывно дифференцируемы, то ответ на данный вопрос утвердительный:
дифференцируем (2) по $y$ и используем тот, факт, что у симметричных функций смешанные частные производные $F''_{xy}$, $G''_{xy}$ тоже симметричны. Следовательно, $p$ - также симметричная функция, что возможно, только если $p(x)\equiv const$.

Спасибо.

[Gafield]

Выпуклые функции дважды дифференцируемы почти всюду - теорема А.Д. Александрова.
Так что равенство $F_{xy}(x,y)=p(x)G_{xy}(x,y)$ должно быть выполнено п.в. Не достаточно ли этого?

[Mikhail Sokolov]

Спасибо за наводку! Надо посмотреть.