Минимумы потенциала системы зарядов

[eugrita]

Вопрос по электростатике
Имеется ввиду потенциал плоского или пространственного поля системы зарядов или точечных или распределенных.
т.е Функция от 2 или 3 переменных - координат точки.
Вопрос -может ли она иметь более одного минимума?
Другими словами: если систему зарядов жестко закрепить, то найдутся ли точки устойчивого равновесия свободного пробного заряда
и сколько их может быть?
(Конечно, закрепить- понятие условное. предполагается что невозможна электризация индукцией
т.е есть заряженный диэлектрик, например отрезок или какое-то тело внутри которого невозможны перераспределения его зарядов)
Вроде есть теорема Ирншоу о невозможности устойчивого равновесия системы зарядов. Но в ней предполагается что все заряды свободные, незакрепленные

[iifat]

Ну, в формулировке теоремы могут быть добавлены «внешние» электростатические поля (создаваемые закрепленными источниками).
Если, конечно, вы не намерены прибить гвоздями все заряды

[ewert]

eugrita в сообщении #996750 писал(а):

Вроде есть теорема Ирншоу о невозможности устойчивого равновесия системы зарядов. Но в ней предполагается что все заряды свободные, незакрепленные

Фактически -- не предполагается. Система неустойчива именно потому, что для каждого заряда, интерпретируемого как пробный, поле, создаваемое всеми остальными, не может иметь локальных экстремумов. Но тогда какая разница, закреплены эти остальные или нет.

[Munin]

Вот здесь недавно Alex-Yu объяснил: post992398.html#p992398 .

[svv]

eugrita в сообщении #996750 писал(а):

или распределенных

А с распределенными зарядами, если они «закреплены» и пробному заряду разрешается находиться внутри заряженного облака, это возможно.

[eugrita]

Все таки не понимаю. Пусть 3 положительных заряда +1Кулон расположены по правильному треугольнику или правильн тетраэдру и закреплены. В центре помещаем любой положительный пробный . Это равновесие что, неустойчиво что ли - при смещении пробного из центра в сторону одного из них его сила отталкивания превысит от даух других и он вынужден будет вернуться
Разве не так? Вот если б в центре был отрицательный-то -неустойчивое равновесие

[svv]

Пусть правильный тетраэдр из положительных зарядов стоит на столе. Помещаем в центр пробный положительный заряд. Немного подвинем его вверх. Потенциал увеличится? Ну, а по направлению вертикально вниз потенциал будет уменьшаться. Не забывайте, что кроме направлений точно к одному из зарядов есть ещё и направление точно от заряда.

Потенциал ведет себя на вертикальной прямой в окрестности центра тетраэдра так:
plot 1/sqrt((t-1)^2+(t-1)^2+(t-1)^2)+3/sqrt((t-1)^2+(t+1)^2+(t+1)^2)
Он всё время уменьшается при движении от верхнего заряда вертикально вниз. И минимума нет.

[Munin]

svv
Нарисуйте потенциал (в смысле двумерной задачи Лапласа) в центре двумерного треугольника, как plot2d, пожалуйста. Тогда там будет виднее, что происходит.

К формулировке Alex-Yu добавлю своё старенькое post909862.html#p909862
и чтобы увязать их - формулировку Фейнмана (точнее, стандартную в матанализе, но цитата из Фейнмана):

Цитата:

В каждой точке пространства имеется число (именно число, а не механизм: в том-то и вся беда с физикой, что она должна быть математической), и, когда вы переходите с места на место, это число меняется. Если в какой-то точке пространства поместить предмет, то на него будет действовать сила в том направлении, в котором быстрее всего изменяется это число (я дам ему обычное название — потенциал; сила действует в направлении быстрейшего изменения потенциала). Далее, сила пропорциональна тому, насколько быстро изменяется потенциал при перемещении из одной точки в другую. Это только одна часть формулировки, и ее недостаточно, потому что я еще не сказал вам, как именно изменяется потенциал. Я мог бы сказать, что потенциал изменяется обратно пропорционально расстоянию от каждого тела, но тогда мы снова вернулись бы к понятию о действии на расстоянии. Можно сформулировать закон по-другому, сказав: нам не надо знать, что происходит за пределами маленького шарика. Если вы хотите знать, чему равен потенциал в центре, скажите мне просто, каков он на поверхности сколь угодно малого шарика. Вам не надо смотреть вокруг шарика, скажите лишь, каков потенциал по соседству с интересующей вас точкой и какова масса шарика. Правило таково. Потенциал в центре равен среднему потенциалу на поверхности шарика минус постоянная $G,$ которая была в предыдущем уравнении, поделенная на удвоенный радиус шарика (обозначим его через $a$) и умноженная на массу шарика, если шарик достаточно мал:


$$\text{Потенциал в центре}=\text{Средний потенциал на сфере}-\dfrac{G}{2a}\times\text{Масса сферы}.$$

Как видите, этот закон отличается от предыдущего, ибо он говорит нам, что происходит в некоторой точке, если известно, что происходит рядом с ней.

(у Фейнмана речь о законе для гравитации, так что в случае электричества мы имеем

$$\text{Потенциал в центре}=\text{Средний потенциал на сфере}+\dfrac{k}{2a}\times\text{Заряд сферы}.)$$

Теперь станет ясно, что вместо трёх вторых производных можно обсуждать усреднение по сфере, и закон становится точным и не терпящим никаких выкрутасов: вы не можете получить нулевое среднее, если у вас есть положительные усредняемые числа, и нет отрицательных. А значит, пробному заряду из центра всегда есть куда соскользнуть, и он не будет в минимуме.

[svv]

Вот:
plot ln(1/sqrt((x+1)^2+y^2))+ln(1/sqrt((x-cos(pi/3))^2+(y-sin(pi/3))^2))+ln(1/sqrt((x-cos(pi/3))^2+(y+sin(pi/3))^2)) for x=-2 to 2, y=-2 to 2
На что надо обратить внимание: из центра шарику есть куда скатываться.

В центре нет минимума. Если этого не видно из самого графика, посмотрите, ниже Wolfram по собственной инициативе (какой молодец!) построил линии уровня.

[eugrita]

Да ошибся. Пришлось строить график безразмерного потенциала $U(a)=\frac{1}{d_1}+\frac {1}{d_2}+\frac {1}{d_3}$
вдоль одной из осей симметрий треугольника.
вот он

Интересующая нас точка - центр треугольника соответствует углу $a=30^0$
В ней значение безразмерного потенциала $U \cdot R=3$
Похоже в центре- точка перегиба

[Munin]

Очевидная ошибка в точке разрыва.

[eugrita]

Виноват, не учел модуль

$U(a)=\frac {2 \cdot \cos a}{|3 \cdot \cos a-\sqrt{3} \cdot \sin a|}+ \frac {4} {\sqrt{3}} \cdot \cos a$

-------------------------------------------------------
Кстати, не помню такую оптимизационную задачу геометрии - задача мин суммы расст до вершин есть - точки Торичелли,
мин суммы квадратов расст до вершин - есть, мин суммы расстояний до сторон - на этом же форуме
http://dxdy.ru/topic62557.html
а вот мин суммы обратных расстояний - не знаю

[Sender]

eugrita в сообщении #997289 писал(а):

а вот мин суммы обратных расстояний - не знаю

Думаю, не в последнюю очередь потому, что такой точки не существует.