не представимо в виде суммы двух квадратов

[rightways]

Натуральное число $n>6$. Доказать, что $n!$ не представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел.

[Shadow]

При $n>6$ между $n\text{ и }2n$ существует хотя бы одно простое вида $4k+1$ и хотя бы одно простое вида $4k-1$ (Эрдёш)
Как следствие, при $n > 6$ в каноническом разложении $n!$ будет простое вида $4k-1$ в нечетной (первой) степени, а такие числа непреставимы в виде суммы двух квадратов.

[Evgenjy]

Shadow в сообщении #995326 писал(а):

При $n>6$ между $n\text{ и }2n$ существует хотя бы одно простое вида $4k+1$ и хотя бы одно простое вида $4k-1$ (Эрдёш)

Это утверждение мне не знакомо. Может дадите ссылку? (Известен похожий постулат Бертрана.)
Впрочем для решения задачи достаточно взять наибольшее простое вида $4k-1$ не превосходящее $n$.

[grizzly]

Evgenjy в сообщении #995585 писал(а):

Это утверждение мне не знакомо.

Присоединяюсь к вопросу.

Evgenjy в сообщении #995585 писал(а):

Впрочем для решения задачи достаточно взять наибольшее простое вида $4k-1$ не превосходящее $n$.

Это если знать, что оно больше, чем $n/2$, тогда достаточно. Иначе непонятно. Поэтому Shadow и сослался на упомянутое утверждение.

[Shadow]

Evgenjy в сообщении #995585 писал(а):

Это утверждение мне не знакомо. Может дадите ссылку? (Известен похожий постулат Бертрана.)

Это усиление постулата Бертрана, Здесь например, а более подробно наверное там в references. Или поискать поподробнее в нете.

Evgenjy в сообщении #995585 писал(а):

Впрочем для решения задачи достаточно взять наибольшее простое вида $4k-1$ не превосходящее $n$.

И надеятся, что оно не меньше $n/2$ , а то если $2p \le n\text{ то } p^2\mid n!$

[Evgenjy]

Shadow в сообщении #995630 писал(а):

И надеятся, что оно не меньше $n/2$ , а то если $2p \le n\text{ то } p^2\mid n!$

Я ошибся. Однако мне осается только надеется, поскольку я так и не смог найти доказательство усиления постулата Бертрана. Очень странно, что в литературе все так старательно обходят этот важный факт. Ведь тогда между $n$ и $2n$ должно быть два простых числа. У меня появились сомнения не вкралась ли здесь ошибка? Может быть кто-то нашел доказательство? Сообщите!

[ex-math]

Evgenjy в сообщении #996341 писал(а):

Ведь тогда между $n$ и $2n$ должно быть два простых числа.

Там полно простых чисел, что следует из асимптотического закона. Если нужно элементарное доказательство, то надо поколдовать с константами в неравенствах Чебышева.

[Sender]

Глядя на асимптотический закон, можно вздумать, что и между последовательными квадратами их полно, однако гипотеза Лежандра по-прежнему неприступна.

[Sonic86]

Sender в сообщении #996359 писал(а):

Глядя на асимптотический закон, можно вздумать, что и между последовательными квадратами их полно, однако гипотеза Лежандра по-прежнему неприступна.

Вздумать - можно, доказать - нет.

[grizzly]

Evgenjy в сообщении #996341 писал(а):

Может быть кто-то нашел доказательство? Сообщите!

Посмотрите статью А.Коробова в Кванте 04-1998. Там развёрнутое доказательство постулата Бертрана и обратите внимание на указание к задаче 5 в конце статьи, где объясняется, как можно получать любое количество простых между $n$ и $2n$ для достаточно (в пределах разумного) больших $n$.

Конечно, это не даёт результата Эрдёша. И было бы интересно решить задачу без такой тяжёлой артиллерии.

А известен ли такой факт, что для любого $n$ можно найти $n$ подряд идущих простых, каждое из которых будет вида $4k-1$? Или это гипотеза? Поделитесь, если кто слышал, пжл.

[Sonic86]

grizzly в сообщении #996364 писал(а):

А известен ли такой факт, что для любого $n$ можно найти $n$ подряд идущих простых, каждое из которых будет вида $4k-1$? Или это гипотеза?

Я не слышал, вероятно гипотеза.
Хотя есть теорема о том, что разность $\pi(x,4k+1)-\pi(x,4k-1)$ колеблется сколь угодно сильно с разными знаками. Но, вроде, это не помогает.

[rightways]

между $n$ и $n+100$ есть простое число.

[Shadow]

rightways в сообщении #996453 писал(а):

между $n$ и $n+100$ есть простое число.

Даже если $n=102!+2$?

-- 27.03.2015, 14:52 --

rightways откуда задача в стартовом сообщении и есть ли у Вас решение?

[rightways]

да я ошибся

-- 27.03.2015, 20:16 --

Задача неоткуда. Сам заинтересовался просто.
Наверное задача все же останется гипотезой .

[Deggial]

Последующий флуд клона и ответы ему отделены в Чулан.