Одинаковые произведения цифр

[Ktina]

Найдите все натуральные числа, которые нельзя представить в виде суммы двух натуральных чисел, имеющих одинаковые произведения цифр.

Я думаю, что любое натуральное $n\geqslant 110$ представить требуемым образом можно, поскольку среди чисел

$$n-100,\quad n-101,\quad \dots ,\quad n-109$$

найдётся натуральное число, оканчивающееся на нуль, следовательно имеющее нулевое произведение цифр.

Любое чётное натуральное число, очевидно, также представимо нужным нам образом, так как представимо в виде суммы двух равных друг другу натуральных чисел.

Осталось решить вопрос с нечётными натуральными числами, меньшими 110.
Неужели только перебором? Долго ведь и нудно.

Пожалуйста, помогите решить.
Заранее спасибо!

[Shadow]

В виде суммы однозначаного и двузначного $A=a+\overline{bc},\;a=bc$

$A=bc+10b+c,\quad A+10=(c+10)(b+1)$

В виде суммы двух двузначных $A=\overline{ab}+\overline{cd},\;ab=cd$

$a=pq,b=rs,c=ps,d=qr$

$A=10pq+rs+10ps+qr$

$A=(10p+r)(q+s)$

Получается, если $A$ или $A+10$ имеет собственный делитель, больше 10. Для нечетного, конечно.

-- 27.03.2015, 14:34 --

Ввиду ограничений, в первом случае если $A+10$ имеет делитель от 11 до 19.

-- 27.03.2015, 14:40 --

И во втором случае ограничения - $pq,rs,ps,qr<10$...

[Ktina]

Shadow,
Спасибо!

[grizzly]

Shadow в сообщении #996451 писал(а):

Ввиду ограничений, в первом случае если $A+10$ имеет делитель от 11 до 19.

Нужно ещё ограничений. Потому как, например, ни $A=41,$ ни $A=81$ не представляются в виде нужной суммы, хотя $A+10$ имеют подходящие делители.

-- 27.03.2015, 18:13 --

А, ну да, аналогично ограничениям на цифры второго случая.

[Shadow]

Да, для первого случая лучше выписать всех $b$-четное, $c$-нечетное, $bc<10$ совсем просто.
Для второго случая, наверное, тоже.