Квазибесконечные числа и многоэтажные поля

[Someone]

Andrey Lukyanov писал(а):

Делителей нуля пока не нашёл. Но если они и есть, то это нам ничем не угрожает (так же как и 4 корня).

Поля не получится (я имею в виду и числа с дробной частью; при простом $p$ получается поле). Будет только кольцо. Делить не всегда можно.

Andrey Lukyanov писал(а):

Someone писал(а):

А Вам в Вашем "трёхэтажном" поле на множестве комплексных чисел не мешает, что логарифм комплексного числа имеет бесконечное множество значений?
$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi),r\neq 0\Rightarrow\mathop{\mathrm{Ln}}z=\ln r+i(\varphi+2\pi n),n\in\mathbb Z$

Видимо, надо всегда брать то значение, где мнимая часть наименьшая «неотрицательная».

Хотя потенциально здесь действительно может вылезти какая-нибудь бяка.

Обязательно вылезет и, боюсь, таким простым способом Вы от многозначности не избавитесь. Там же ещё дистрибутивность относительно умножения должна выполняться.

AD писал(а):

Да и равенство получится "по модулю $2\pi i$"

Боюсь, гораздо хуже. Попробуйте написать и посмотреть.

$i\uparrow i=e^{\mathop{\mathrm{Ln}}i\cdot \mathop{\mathrm{Ln}}i}=e^{\left(\frac{\pi i}2+2\pi mi\right)\left(\frac{\pi i}2+2\pi ni\right)}=e^{-\frac{\pi^2}4(4m+1)(4n+1)}$, $m,n\in\mathbb Z$.
Что здесь "по модулю $2\pi i$"?

[Andrey Lukyanov]

AD писал(а):

Ну теперь слабо ответить - ваше $(\mathbb{C}\setminus\{0\},\cdot,\uparrow)$ изоморфно $(\mathbb{C},+,\cdot)$ или нет?

Похоже, что они не изоморфны. Вроде бы соответствие должна устанавливать функция $e^x$, однако на комплексных числах она не является взаимно однозначным отображением. Например, $e^{\pi i} = e^{3\pi i}$.

Echo-Off писал(а):

То есть $e^{\ln{a}\ln{b}}$ не зависит от того, какую ветвь логарифма брать? Увы, зависит.

Someone писал(а):

Боюсь, гораздо хуже. Попробуйте написать и посмотреть.

$i\uparrow i=e^{\mathop{\mathrm{Ln}}i\cdot \mathop{\mathrm{Ln}}i}=e^{\left(\frac{\pi i}2+2\pi mi\right)\left(\frac{\pi i}2+2\pi ni\right)}=e^{-\frac{\pi^2}4(4m+1)(4n+1)}$, $m,n\in\mathbb Z$.
Что здесь "по модулю $2\pi i$"?

А если мы всегда берём ту веть логарифма, где мнимая часть неотрицательная и наименьшая по модулю? Тогда всё просто:

$i\uparrow i=e^{\mathop{\mathrm{ln}}i\cdot \mathop{\mathrm{ln}}i}=e^{\left(\frac{\pi i}2\right)\left(\frac{\pi i}2\right)}=e^{-\frac{\pi^2}4}$.

Someone писал(а):

Поля не получится (я имею в виду и числа с дробной частью; при простом $p$ получается поле). Будет только кольцо. Делить не всегда можно.

Это относится к другой статье, там поля никто и не обещал. («Квазибесконечные числа» и «многоэтажные поля» — две отдельные статьи, друг с другом никак не связанные.)

[Echo-Off]

Andrey Lukyanov писал(а):

А если мы всегда берём ту веть логарифма, где мнимая часть неотрицательная и наименьшая по модулю? Тогда всё просто:

$i\uparrow i=e^{\mathop{\mathrm{ln}}i\cdot \mathop{\mathrm{ln}}i}=e^{\left(\frac{\pi i}2\right)\left(\frac{\pi i}2\right)}=e^{-\frac{\pi^2}4}$.

Имеется равенство: $a\uparrow (bc) = (a\uparrow b) (a\uparrow c)$.
Берём $a=i$, $b=i$, $c=-i$.
Тогда:
$a\uparrow b = e^{-\frac {\pi^2}4}$,
$a\uparrow c = i\uparrow (-i) = e^{\left(\frac {\pi i}2\right) \left(\frac {3\pi i}2 \right) = e^{-\frac {3\pi^2}4}$,
$a\uparrow (bc) = i\uparrow 1 = i$.
$e^{-\frac{\pi^2}4} e^{-\frac{3\pi^2}4} \neq i$.

[Andrey Lukyanov]

Echo-Off писал(а):

Имеется равенство: $a\uparrow (bc) = (a\uparrow b) (a\uparrow c)$.
Берём $a=i$, $b=i$, $c=-i$.
Тогда:
$a\uparrow b = e^{-\frac {\pi^2}4}$,
$a\uparrow c = i\uparrow (-i) = e^{\left(\frac {\pi i}2\right) \left(\frac {3\pi i}2 \right) = e^{-\frac {3\pi^2}4}$,
$a\uparrow (bc) = i\uparrow 1 = i$.
$e^{-\frac{\pi^2}4} e^{-\frac{3\pi^2}4} \neq i$.

Вы правы. Дистрибутивности тут не будет (да и ассоциативности, видимо, тоже).

Всё же нам удалось раскрыть коварную сущность комплексных чисел.

[AD]

Похоже, уже разобрались, но, все-таки, наверное, не помешает напомнить мою любимую задачку :)

Andrey Lukyanov писал(а):

Вроде бы соответствие должна устанавливать функция $e^x$

Группы $(\mathbb{R},+)$ и $(\mathbb{C},+)$ изоморфны. Серьёзно. Слабо сообразить, какой функцией устанавливается изоморфизм?