2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Найти ошибку в решении диофантова уравнения
Сообщение27.03.2015, 09:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5668
Новосибирск
TR63 в сообщении #996292 писал(а):
Спрашивается, когда возможна замена переменных

Всегда.
TR63 в сообщении #996292 писал(а):
Но всегда ли законна замена переменных

Аналогично.
Теперь вопрос - о чём Вы спрашиваете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ошибку в решении диофантова уравнения
Сообщение27.03.2015, 09:10 


03/03/12
1239
Можно рассматривать и случай, когда $p<0$. Главное, что бы имелись комплексные корни.

-- 27.03.2015, 10:12 --

Это добавление к моему сообщению.

-- 27.03.2015, 10:23 --

bot в сообщении #996294 писал(а):
Теперь вопрос - о чём Вы спрашиваете?

Я спрашивала о том, на что Вы ответили. Если Вас интересует моё мнение по этому вопросу, то могу ответить: у меня есть сомнения. Решаю численно пример и получается расхождение с вольфрамом. Хочу выяснить, почему. Но позже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ошибку в решении диофантова уравнения
Сообщение27.03.2015, 09:41 
Заслуженный участник


12/09/10
1530
TR63 в сообщении #996292 писал(а):
Пусть имеется уравнение четвёртой степени:
$x^4+px^2+qx+r=0$
$(p;q)>0$ $r\neq0$
$x_1=\alpha+i\beta$ $x_2=\alpha-i\beta$ $(x_3;x_4)$
Спрашивается, когда возможна замена переменных $x\to x+\alpha$

Как я понимаю, $x_1$ и $x_2$ Вам неизвестны - иначе зачем задача?
Ну а в таком случае, чтобы сделать замену - надо это $\alpha$ сначала найти. Не уверен, что нахождение действительной части корней в общем случае может быть значительно проще, чем нахождение самих корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ошибку в решении диофантова уравнения
Сообщение27.03.2015, 10:03 


03/03/12
1239
Cash в сообщении #996305 писал(а):
Как я понимаю, $x_1$ и $x_2$ Вам неизвестны

Да, так. Численно неизвестны. Известно лишь, что существуют. Значит, известно, что существует $\alpha$.
Вопрос в том, почему для третьей степени численно находить не надо, а для четвёртой надо находить численное значение $\alpha$. К тому же, bot говорит, что всё верно. И, как быть. Думаю, надо разбираться.
Cash в сообщении #996305 писал(а):
Не уверен, что нахождение действительной части корней в общем случае может быть значительно проще, чем нахождение самих корней.

Если bot прав, то задача элементарна. Распишу позже. Сегодня мало времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ошибку в решении диофантова уравнения
Сообщение27.03.2015, 10:23 


26/08/11
1873
TR63 конечно, если $x_3+x_4=-2\alpha$, после замены $x=t-\alpha$ у нового уравнения будут корни с суммой 0, т.е $t_3+t_4=0$ А что говорит теорема Орландо для полиномов четвертой степени? Вы только о ней говорите, а я ее не знаю. Eсли полином имеет корни с суммой 0, т.е $P(x)=(x+a)(x+b)(x^2+c)$
или $P(x)=x^4+(a+b)x^3+(ab+c)x^2+(a+b)cx+abc$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ошибку в решении диофантова уравнения
Сообщение27.03.2015, 11:12 
Заслуженный участник


12/09/10
1530
Shadow в сообщении #996322 писал(а):
А что говорит теорема Орландо для полиномов четвертой степени? Вы только о ней говорите, а я ее не знаю.

Из того, что я нашел в Гантмахере "Теория матриц"
под теоремой Орландо понимается следующее:
сумма каких-то двух корней уравнения $P(x)=0$ равна нулю тогда и только тогда, когда
$\Delta_{n-1}=0$,
где $\Delta_i$ - соответствующий определитель Гурвица

В частности, сумма двух корней уравнения $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$
равна нулю тогда и только тогда, когда
$\begin{vmatrix} a & c & 0 \\ 1 & b & d \\ 0 & a & c \end{vmatrix}=0$
или
$abc = a^2d +c^2$

-- Пт мар 27, 2015 11:30:47 --

TR63 в сообщении #996310 писал(а):
К тому же, bot говорит, что всё верно.

Ну вы вправе делать любые замены, о чем и сказал bot.
У вас было уравнение $f(x)=0$
Заменой вы перешли к уравнению
$F(x,\alpha)=0$
где $F(x,\alpha)$ имеет некое волшебное свойство.
Оттуда находите $\alpha$ и все прочее. Я даже могу поверить, что это не тупиковый путь.

Только хочется, чтобы Вы четко понимали:
1) Решение уравнения четвертой степени невозможно без честного решения некоторого уравнения 3-й степени (формула Кардано)
2) Сведение Феррари к уравнению 3-й степени на порядок проще и прозрачней, чем Ваш путь.

П.2, конечно же ничего не значит, если Вы сможете достичь успеха - только буду рад.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ошибку в решении диофантова уравнения
Сообщение27.03.2015, 12:54 


26/08/11
1873
Спасибо, Cash теперь ясно. По поводу уравнения в натуральных числах:
TR63 в сообщении #994479 писал(а):
$a^4-mba+(1+m)=0$
TR63 в сообщении #994479 писал(а):
В исходном уравнении сделаем замену переменных $a=x-\alpha$. Тогда в новом уравнении будут корни с противоположными знаками и можно применить теорему Орландо. В итоге получим уравнение:$80\alpha^6-16(1+m)\alpha^2-(mb_1)=0$

Новое уравнение принимает вид (только я заменил $\alpha$ на $a$, лень писать):
$x^4-4 a x^3+6a^2x^2-(4a^3+bm)x+a^4+abm+m+1=0$. Теперь по теореме Орландо должно выполнятся:

$4a\cdot 6a^2\cdot(4a^3+bm)=16a^2(a^4+abm+m+1)+(4a^3+bm)^2$

в итоге, если и я нигде не ошибся:

$64a^6-16(m-1)a^2-b^2m^2=0$. И так как $a=\dfrac n 2,\;n \in \mathbb{N}$, никакое противоречие по четности нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ошибку в решении диофантова уравнения
Сообщение27.03.2015, 20:33 


03/03/12
1239
Shadow, спасибо за проверку. Признаю, что имеется арифметическая ошибка.
Теперь забудем о конкретном уравнении и перейдём к общей задаче, которую анализировал Cash.
.
Cash в сообщении #996337 писал(а):
вы вправе делать любые замены, о чем и сказал bot.
У вас было уравнение $f(x)=0$
Заменой вы перешли к уравнению
$F(x,\alpha)=0$
где $F(x,\alpha)$ имеет некое волшебное свойство.
Оттуда находите $\alpha$ и все прочее. Я даже могу поверить, что это не тупиковый путь.

Cash, если всё, как Вы говорите, то это не тупиковый путь. Для убедительности можете проделать соответствующие вычисления самостоятельно и увидеть, что это путь к определению действительной части. Со своей стороны я могу привести эти выкладки. Они верны, т.к. проверены специалистами. Остаётся выяснить, почему у меня произошло расхождение с вольфрамом. Если этот момент окажется несущественным, то можно будет рассмотреть применение этого метода для исследования уравнения четвёртой степени и в теории чисел.
Ещё раз всем спасибо. Надеюсь на дальнейшую помощь. (Далее хочу рассмотреть конкретный пример. Возможно, завтра.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ошибку в решении диофантова уравнения
Сообщение28.03.2015, 19:18 


03/03/12
1239
Пример.
$x^4+112.5x^2-863x+1528.31=0$

$x^4+px^2-qx+r=0$
(будем рассматривать уравнения, не имеющие действительных корней) Тогда при положительных $(p;q;r)$ корни будут только комплексные.
Исходное численное уравнение имеет только комплексные корни. Многочлен неустойчив. Следовательно, имеются корни с положительной действительной частью $x_1=\alpha+i\beta$. Можно сделать замену переменных $x\to x+\alpha$ для получения уравнения с противоположными корнями. Тогда в результате преобразований и применения формулы Орландо для нахождения $\alpha^2=z$ получим уравнение:

$z^3+\frac1 2pz^2-\frac1 4(r-\frac1 4p^2)z-\frac{1} {64}q^2=0$

Подставляем в это уравнения значения $(p;q;r)$, решаем на вольфраме. Получаем $\alpha_1^2=6.2643$ $\alpha_1<2.6$
Если решать на вольфраме сразу уравнение четвёртой степени, то получим $\alpha_1=3.23908$.

Где-то есть ошибка. В первую очередь у меня вопрос: есть ли в рассуждениях логическая ошибка. Если таковой нет, то прошу помочь найти арифметическую ошибку(тогда можно выкладки, если потребуется, расписать подробнее).

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ошибку в решении диофантова уравнения
Сообщение12.05.2015, 09:05 


03/03/12
1239
Если есть арифметическая ошибка и нет логической, то мною получен метод определения действительных частей комплексных корней уравнений степени n (а, это, как известно, открытая проблема, но не будем спешить) плюс, как следствие, будем иметь количественную характеристику корней уравнения четвёртой степени (этот результат отражён в Вике http://ateist.spb.ru>mw/alg4.htm, но, в, действительности, там требуется корректировка в области определения применимости метода: следует добавить $p\neq0$, $x^4-px^2+qx+r=0$)
Поскольку специалисты молчат по поводу имеющейся ошибки (ведь теория не должна расходиться с практикой), то буду исходить из того, что арифметической ошибки нет. Тогда требуется объяснить полученное расхождение теории и практики. Если использовать мою универсальную гипотезу, то всё объяснимо. Причём, разными способами.
1). Полученный контрпример можно рассматривать как полуаналог двухщелевого эксперимента с электроном в физике (но пока оставлю это в стороне без детального рассмотрения, ибо не разбираясь сочтут за бред.)
2). Полученное противоречие было вполне прогнозируемо с помощью моей универсальной гипотезы. В частности, если использовать следствие из неё: все источники непрерывного сигнала искривлены на границе (это не совсем полная формулировка; укороченная). Т.е. из неё следует,что формулу Орландо нельзя применять ко всему множеству многочленов. К любому конкретному ограниченному множеству можно, а ко всему нельзя (из-за искривления свойств простраства на границе). Что и подтверждает полученное противоречие в виде контрпримера. Между прочим, в доказательстве теоремы Гурвица об устойчивости многочленов используется аналогичная процедура. Отсюда следует, что требуется уточнение доказательства этой теоремы, ибо всвязи с указанным фактом нельзя считать доказательство достаточно полным без объяснения перехода свойства с области $[0;\infty)$ на $[0;\infty]$. Этот момент можно посмотреть в книге Постникова "Устойчивые мнгочлены" на стр. 26.
По поводу количественной характеристики корней многочлена $x^4-px^2+qx+r=0$ у меня сомнений значительно меньше (если формула Орландо верна), т.к. формула Орландо применяется не на всём множестве многочленов, а на множестве без границы $p\neq0$ (как раз здесь и имеется искривление, т.е. метод даёт сбой) плюс имеется неискривлённый источник непрерывного сигнала при $r=(\frac1 4)p^2$ относительно количества корней. Эта задача находитя в стадии разработки. Поэтому приведенную информацию можно просто принять к сведению.

Итак, если моё объяснение полный бред, то мне интересно знать, где же по мнению специалистов ошибка. Почему в результате замены переменных и применения формулы Орландо имеется расхождение теории и практики в виде контрпримера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ошибку в решении диофантова уравнения
Сообщение05.06.2015, 07:35 


03/03/12
1239
TR63 в сообщении #1013786 писал(а):
По поводу количественной характеристики корней многочлена $x^4-px^2+qx+r=0$ у меня сомнений значительно меньше (если формула Орландо верна), т.к. формула Орландо применяется не на всём множестве многочленов, а на множестве без границы $p\neq0$ (как раз здесь и имеется искривление, т.е. метод даёт сбой) плюс имеется неискривлённый источник непрерывного сигнала при $r=(\frac1 4)p^2$ относительно количества корней.


Почему-то ссылка не работает. Это и хорошо, потому что результат там, как оказалось, ошибочен, поскольку есть контрпример (на днях неподалёку его нашла $x^4-26x^2+x+150=0$; это уравнение имеет четыре действительных корня, а вспомагательное один, что противоречит ссылке, в которой результат получен, если исходить из формулы Орландо; т.е. формула Орландо, по крайней мере, не может иметь статус критерия, что соответствует следствию из моей универсальной гипотезы об искривлении источников непрерывного сигнала на границе.)

Почему же теория расходится с практикой? Где ошибка?

TR63 в сообщении #1013786 писал(а):
плюс имеется неискривлённый источник непрерывного сигнала при $r=(\frac1 4)p^2$ относительно количества корней.

Это гипотеза. Доказательства этого факта у меня нет. Если кто знает решение такой задачи, прошу помочь. Формулировка задачи: верно ли, что при ненулевых положительных (p;r) уравнение $x^4-px^2+qx+\frac1 4p^2=0$ имеет постоянное количество корней, равное двум. Дискриминант вспомагательного уравнения я вычислила. Он получился неизменным относительно знака $(>;<)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ошибку в решении диофантова уравнения
Сообщение17.06.2015, 15:40 


03/03/12
1239
Итак, з-за наличия контрпримера получается, что формула Орландо не имеет статуса критерия. Хотя для $n\le4$ в статусе необходимого условия формула Орландо без сомнения верна (доказательство этого факта доступно среднему школьнику в качестве простого упражнения). Тогда получается, что она не имеет статус достаточного условия. Если я ошибаюсь, прошу указать, где именно. Я ошибки не нахожу.

Для решения диофантова уравнения, которое находится в ВМВ(чулане) достаточо того, что формула Орландо имеет статус необходимого условия. Сформулирую эту задачу с несущественным изменением: для уравнения
$$x^4+px-q=0$$
где $p>0$ (нечётное), $q>0$(натуральные), действительные части комплексных корней не могут быть целыми.
Решение:
Уравнение имеет один положительный, один отрицательный действительный корень и $x=\alpha\pm i\beta$. $\alpha>0$ либо $\alpha<0$. Пусть $\alpha>0$ тогда $x\to x+\alpha$. В результате такой замены получим уравнение, имеющее противоположные корни:
$x^4+4x^3\alpha+6x^2\alpha^2+(4\alpha^3+p)x+(\alpha^4+p\alpha-q)=0$

Следовательно выполняется формула Орландо в качестве необходимого условия, т.е.:
$16\alpha^2(\alpha^4+p\alpha-q)=(4\alpha^3+p)(20\alpha^3-p)$.
Левая часть чётная, а правая нечётная. Противоречие.
Прошу объяснить, чем не устраивает предложенный метод.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ошибку в решении диофантова уравнения
Сообщение25.06.2015, 12:06 


03/03/12
1239
TR63 в сообщении #1023545 писал(а):
Почему-то ссылка не работает. Это и хорошо, потому что результат там, как оказалось, ошибочен, поскольку есть контрпример (на днях неподалёку его нашла $x^4-26x^2+x+150=0$; это уравнение имеет четыре действительных корня, а вспомагательное один, что противоречит ссылке, в которой результат получен, если исходить из формулы Орландо;


Странно. Сегодня Вольфрам выдал во вспомагательном уравнении три действительных корня. Получается, что к данной ссылке контрпримера нет.
Остаётся проверить первый контрпример к определению действительных частей комплексных корней. Может и там Вольфрам передумал или я была невнимательна. (Арифметика- сложная штука).

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ошибку в решении диофантова уравнения
Сообщение25.06.2015, 19:52 


03/03/12
1239
TR63 в сообщении #997042 писал(а):
Пример.
$x^4+112.5x^2-863x+1528.31=0$

$x^4+px^2-qx+r=0$
(будем рассматривать уравнения, не имеющие действительных корней) Тогда при положительных $(p;q;r)$ корни будут только комплексные.
Исходное численное уравнение имеет только комплексные корни. Многочлен неустойчив. Следовательно, имеются корни с положительной действительной частью $x_1=\alpha+i\beta$. Можно сделать замену переменных $x\to x+\alpha$ для получения уравнения с противоположными корнями. Тогда в результате преобразований и применения формулы Орландо для нахождения $\alpha^2=z$ получим уравнение:

$z^3+\frac1 2pz^2-\frac1 4(r-\frac1 4p^2)z-\frac{1} {64}q^2=0$

Подставляем в это уравнения значения $(p;q;r)$, решаем на вольфраме. Получаем $\alpha_1^2=6.2643$ $\alpha_1<2.6$
Если решать на вольфраме сразу уравнение четвёртой степени, то получим $\alpha_1=3.23908$.

Где-то есть ошибка.

Есть ещё одна ссылка, в которой указан метод для определения количественных характеристик корней уравнения четвёртой степениhttp://www.terver.ru/algeq8.php. Он выведен с помощью замены переменных и применения формулы Орландо. (В Гугле ссылка работает; только что проверяла). Можно ли быть уверенным в нём, если в ситуации с предложенным примером получается на практике нестыковка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти ошибку в решении диофантова уравнения
Сообщение26.06.2015, 16:31 


03/03/12
1239
TR63 в сообщении #1013786 писал(а):
По поводу количественной характеристики корней многочлена $x^4-px^2+qx+r=0$ у меня сомнений значительно меньше (если формула Орландо верна), т.к. формула Орландо применяется не на всём множестве многочленов, а на множестве без границы $p\neq0$ (как раз здесь и имеется искривление, т.е. метод даёт сбой)

TR63 в сообщении #1030968 писал(а):
Есть ещё одна ссылка, в которой указан метод для определения количественных характеристик корней уравнения четвёртой степени http://www.terver.ru/algeq8.php
.

Если бы авторы в этой ссылке учитывали мою универсальную гипотезу, то не рассматривали бы всё множество уравнений четвёртой степени. Следует рассматривать множество уравнений с общим свойством. У меня таковым является полуусловие Стодолы для вспомагательного уравнения третьей степени (раз я использую понятие устойчивости). Отсюда условие ($(p,q,r)\neq0$) и прогноз о нарушении действия метода на границе при ($p=0$). Привожу соответствующий пример, подтверждающий данное утверждение:
$x^4-0.72x+0.4=0$
Это уравнение не имеет действительных корней, а вспомагательное уравнение третьей степени имеет один действительный корень. По ссылке должно быть два действительных корня. Противоречие. Этого и следовало ожидать по прогнозу.
Что интересно, авторы по первой неработающей ссылке пытаются исправить ситуацию введением лишь необходимости...(Поможет ли?)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group