тензор Альманси

[galoperidol]

День добрый.
Пусть движение СС задано в форме Эйлера:
$R=r-u_r(r,\varphi)$, $\Theta=\varphi$, $Z=z$,
где $\left(R,\Theta,Z\right)$ - координаты точек среды в начальном состоянии, $\left(r,\varphi,z\right)$ - в деформированном состоянии.

Тензор деформаций Альманси:
$2\cdot A=(u\otimes\nabla)+(u\otimes\nabla)^T-(u\otimes\nabla)^T (u\otimes\nabla)$,
где градиент вектора $u\otimes\nabla$ в цилиндрической с.к. (с учетом $u\equiv u_r(r,\varphi)$) имеет вид:

$u\otimes\nabla=\left(\begin{array}{ccc} u_{r,r}\;\;\;$$\frac{u_{r,\varphi}}{r}$$\;\;\;0\\ 0\;\;\;\;\;\;$$\frac{u_r}{r}\;\;\;\;\;$$0\\ 0\;\;\;\;\;\;$$0\;\;\;\;\;\;\;$$0\\ \end{array}\right)$

Запись $()_{\cdot ,\cdot}$ означает частное дифференцирование компоненты вектора.
Тогда компоненты тензора Альманси имеют вид:

$\alpha_{rr}=u_{r,r}\cdot \left(1-\frac{u_{r,r}}{2}\right)-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{u_{r,\varphi}}{r}\right)^2$,

$\alpha_{\varphi\varphi}=\frac{u_{r}}{r}\cdot\left(1-\frac{1}{2}\cdot\frac{u_{r}}{r}\right)$,

$\alpha_{r\varphi}=\alpha_{\varphi r}=\frac{1}{2}\cdot\frac{u_{r,\varphi}}{r}\cdot\left(1-\frac{u_r}{r}\right)$.

Подскажите, пожалуйста, все ли правильно я сделал?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
Оформите дроби по-человечески.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[svv]

Всё понимаю до градиента и согласен с результатом. Но как Вы из него получили такие компоненты тензора Альманси? Если обозначить компоненты градиента через $p_{ik}$, то
$2\alpha_{ik}=p_{ik}+p_{ki}-p_{\ell i}p_{\ell k}$
В последнем слагаемом суммирование по $\ell$.
Тогда, например, $2\alpha_{rr}=2u_{r,r}-(u_{r,r})^2$.

Я привык, что набла (как и любой оператор) действует на то, что справа, поэтому писал бы $\nabla\otimes u$, но бороться с Вашей системой не буду.

[galoperidol]

Спасибо, вы даже не представляете, как помогли
Я был готов искать ошибку где угодно (в дальнейшем решении), но даже и подумать не мог, что она именно здесь и так элементарна - перепутан порядок умножения в нелинейном слагаемом.
Теперь все стало на свои места. Конечно, компоненты тензора Альманси имеют вид:

$\alpha_{rr}=u_{r,r}\cdot \left(1-\frac{u_{r,r}}{2}\right)$,

$\alpha_{\varphi\varphi}=-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{u_{r,\varphi}}{r}\right)^2-\frac{1}{2}\cdot\frac{u_r}{r}\cdot\left(2-\frac{u_r}{r}\right)$,

$\alpha_{r\varphi}=\alpha_{\varphi r}=\frac{1}{2}\cdot\frac{u_{r,\varphi}}{r}\cdot\left(1-u_{r,r}\right)$.

[svv]

Ещё, проверьте, у меня в $\alpha_{\varphi \varphi}$ второе слагаемое получилось с другим знаком (а так всё правильно).
$2\alpha_{\varphi \varphi}=p_{\varphi \varphi}+p_{\varphi\varphi}-p_{r \varphi}p_{r\varphi}-p_{\varphi \varphi}p_{\varphi \varphi}=$
$=-(p_{r \varphi})^2+p_{\varphi \varphi}(2-p_{\varphi \varphi})=$
$=-\left(\frac{u_{r,\varphi}}{r}\right)^2+\frac{u_r}{r}\left(2-\frac{u_r}{r}\right)$

[galoperidol]

Точно, ваш знак
Впопыхах преобразовал mcad'овскую запись