Теория теории и размерности

[unistudent]

Munin в сообщении #995591 писал(а):

Читал про предложение основать систему единиц величин не на массе, а на энергии http://ufn.ru/ru/articles/2008/7/e/

Про теорию подобия и размерности приблизительно понятно, что исследуемая система может быть представлена набором фракций, характеризующихся разными значениями параметра заданной размерности, или, грубо говоря, функции, входящие в систему могут быть представлены комбинацией "разно-масштабных" членов. После нормирования такая комбинация становится степенным рядом $\sum a_n \varepsilon^n $, где $\varepsilon$- уже безразмерный параметр. Как правило, интересен нулевой член этого ряда. Я понимаю, что это далеко не все в этой теории:). Насколько широка область применения этой теории? Чем отличаются друг от друга книги Седова и Баренблата? Достаточно ли прочитать одну из них, или они в чем то дополняют друг друга?

[Oleg Zubelevich]

unistudent в сообщении #995891 писал(а):

входящие в систему могут быть представлены комбинацией "разно-масштабных" членов. После нормирования такая комбинация становится степенным рядом $\sum a_n \varepsilon^n $, где $\varepsilon$- уже безразмерный параметр. Как правило, интересен нулевой член этого ряда

муть какая-то

[unistudent]

Oleg Zubelevich в сообщении #995928 писал(а):

unistudent в сообщении #995891 писал(а):

входящие в систему могут быть представлены комбинацией "разно-масштабных" членов. После нормирования такая комбинация становится степенным рядом $\sum a_n \varepsilon^n $, где $\varepsilon$- уже безразмерный параметр. Как правило, интересен нулевой член этого ряда

муть какая-то

Не мутнее, чем первый обзац из введения статьи, на которую дана ссылка. И тем не менее, приблизительно понятно, о чем речь. Вы про теории подобия и размерности слышали? Если да, вам предоставляется возможность поспекулировать на эту тему. Если нет, проходим мимо

[Pphantom]

unistudent в сообщении #995938 писал(а):

Вы про теории подобия и размерности слышали? Если да, вам предоставляется возможность поспекулировать на эту тему. Если нет, проходим мимо

unistudent - замечание за хамство.

[unistudent]

Pphantom в сообщении #995941 писал(а):

unistudent в сообщении #995938 писал(а):

Вы про теории подобия и размерности слышали? Если да, вам предоставляется возможность поспекулировать на эту тему. Если нет, проходим мимо

unistudent - замечание за хамство.

Принимаю. Замечание Зубелевича было мной воспринято как злобная необоснованная нападка. Не в том смысле необоснованная, что без основания, а в том, что надо обосновывать.

[Munin]

unistudent в сообщении #995891 писал(а):

Про теорию подобия и размерности приблизительно понятно, что исследуемая система может быть представлена набором фракций, характеризующихся разными значениями параметра заданной размерности, или, грубо говоря, функции, входящие в систему могут быть представлены комбинацией "разно-масштабных" членов.

Я это не сумел перевести на русский.

Если в этом есть что-то содержательное - сформулируйте иначе, пожалуйста.

-- 26.03.2015 19:24:22 --

unistudent в сообщении #995958 писал(а):

Не в том смысле необоснованная, что без основания, а в том, что надо обосновывать.

Вообще говоря, предлагая какие-то тезисы, это вы их должны обосновывать. "Приблизительно понятно" - это не оправдание. Тексты, которые вам приблизительно понятны, на самом деле написаны строго и чётко, и именно так понятны специалистам. Непонятность сосредоточена именно в вас, потому что вы плохо знаете базовый материал (или не знаете вообще, а ухватываете какие-то словесные ассоциации). Для вас так выражаться - непозволительно: то, что произносите вы, должно быть идеально понятно вам, и сформулировано на стандартном общеизвестном языке (тоже известном вам).

Иначе вы вырастете в ещё одного bayak, если не похуже.

[unistudent]

А кто такой/такая bayak? Надеюсь, вы не используете меня как средство передачи своего к нему/ней отношения?

То, что я имел в виду, заключается в следущем. Допустим, у нас есть сложная или много-компонентная, если так правильно будет сказать, механическая система. Например, движение маятника старинных часов, если рассматривать его в СО, связанной с солнцем, много-компонентное, потому что оно состоит из 1) собственных колебаний, 2) вращения Земли вокруг своей оси и 3) вращения её же вокруг солнца. Каждую из этих составляющих, или "фракций", можно описать с помощью характерных для неё постаянных величин: для фракции 1) таковыми будут период и амплитуда собственных колебаний маятника и т.д. Понятно, что уравнения движения системы можно нормировать. Время $t$ можно записать как $t=\tau T$, где $T$ - постоянная размерности $[t]$, координату $x$ как $x=\xi X$ и т.д. Постоянные $T,X,..$ назовем нормирующими факторами. После нормализации члены ур-ий становятся безразмерными. Преимущество этого подхода заключается прежде всего в свободе выбора нормирующих факторов. Если, например, характерные постоянные сильно отличаются друг от друга, то правильно выбирая нормирующий фактор, систему уравнений можно привести к системе, которая содержит малый (или большой) параметр, пусть это будет $\varepsilon$. Функции, входящие в систему уравнений, можно представить их рядами Тейлора, которые после нормализации превращаются в степенные ряды вида $\sum a_n(\tau,\xi,..) \varepsilon^n$. Ну а дальше дело техники. Можно приравнивать или группировать коэффициенты при одинаковых степенях возникающих рядов, или же отбрасывать члены рядов, начиная с какой-нибудь степени... как бы там ни было, самым интересным всегда будет оставаться член при $n=0$.

Вот, собственно, и всё, что я хотел очень коротко выразить, надеясь на то, что здесь достаточно экспертов, способных сразу понять о чем речь. Моим вопросом было, это ли изучает теория раззмерности (уверен, что не только это), а также как широко применяется этот подход в практике, и прежде всего, в каких областях? Только ли в теорвере? Ясно, что имеет смысл изучить этот вопрос глубже. Достаточно ли тогда прочитать одну книгу, на которые ссылается автор статьи, или нужны обе.

[Munin]

unistudent в сообщении #996108 писал(а):

А кто такой/такая bayak?

Не знаете - и хорошо :-)

unistudent в сообщении #996108 писал(а):

Допустим, у нас есть сложная или много-компонентная, если так правильно будет сказать, механическая система. Например, движение маятника старинных часов, если рассматривать его в СО, связанной с солнцем, много-компонентное, потому что оно состоит из 1) собственных колебаний, 2) вращения Земли вокруг своей оси и 3) вращения её же вокруг солнца. Каждую из этих составляющих, или "фракций"

Давайте не проскакивать так быстро столь сложные вещи и идеи.

Есть такие варианты:
- система, состоящая из подсистем. Зависимых или независимых. Прототип: два маятника, либо не сцепленные никак, либо с пружинкой между ними.
- система со многими степенями свободы, и разделяющимися переменными. Прототип: система двух тел, движущаяся свободно в пространстве. Здесь можно разделить движение тел вокруг друг друга, и движение системы как целого (движение центра масс), и решать обе задачи по отдельности: одна не влияет на другую.

Что именно вы имеете в виду?

[unistudent]

Пусть это будет система, состаящая из зависимых подсистем. Допустим, два маятника с массами $m<<M$.

-- 26.03.2015, 21:16 --

Мне интересно именно, как применяется теория размерности. Я бы начал с ур-й движения этой системы, которые можно записать так

$$I_1\ddot{\alpha}=J_{2,1}+J^1_g, I_2\ddot{\beta}=J_{1,2}+J^2_g,$$

где $I_1,I_2$ - моменты инерции маятников относительно их точек подвеса, $J_{i,j}$ момент действующий на маятник $j$ со стороны маятника $i$, а $J^k_g$ - момент силы гравитации, действующей на маятник $k$.
Предположим, что маятники математические и одинаковой длины $l$. Тогда
$I_k=m_k l^2,$
$J^k_g= m_k[\overline{r}_k,\overline{g}],$
$J_{2,1} = [\overline{r_1}_k,\overline{F}], J_{1,2} = -[\overline{r_2}_k,\overline{F}],$
где $F$ - сила, действующая со стороны пружины.

Это верно?

-- 26.03.2015, 21:44 --


Если да, то
$m_1 l^2\ddot{\alpha}=[\overline{r}_1,\overline{F}]+m_1[\overline{r}_1,\overline{g}],$
$m_2 l^2\ddot{\beta}=-[\overline{r}_2,\overline{F}]+m_1[\overline{r}_1,\overline{g}].$

[unistudent]

Допустим, что поле гравитации однородное и плоско-параллельное, точки подвеса $p_1, p_2$ маятников расположены на одном уровне, и в состоянии покоя сила упругости пружины равна нулю (деформации нет). Пусть $p_2 = p_1+\overline{L}$. Тогда

$$F=f(x),$$

где

$$x=|\overline{L}+\overline{r}_2 - \overline{r}_1| - |\overline{L}|.$$

-- 26.03.2015, 22:26 --

Если еще предположить, что деформации пружины малы, то
$m_1 l^2\ddot{\alpha}=-k[\overline{r}_1,|\overline{L}+\overline{r}_2-\overline{r}_1|-|\overline{L}|]+m_1[\overline{r}_1,\overline{g}],$
$m_2 l^2\ddot{\beta}=k[\overline{r}_2,|\overline{L}+\overline{r}_2-\overline{r}_1|-|\overline{L}|]+m_2[\overline{r}_2,\overline{g}].$

Ну вот, кажется уравнения готовы. Осталось самое интересное - выбрать характерные постоянные и нормирующий фактор.

[Munin]

А вот теперь оставлю разбираться в этом Oleg-у Zubelevich-у :-)

[arseniiv]

unistudent в сообщении #996137 писал(а):

$m<<M$

$m\ll M$, \ll

[unistudent]

Munin в сообщении #996195 писал(а):

А вот теперь оставлю разбираться в этом Oleg-у Zubelevich-у

Надеюсь, он откликнется.. Там, в уравнениях надо еще учесть, что сила упругости пружины действует вдоль оси пружины.

[unistudent]

Переписываем уравнения в виде

$m_1 l^2\ddot{\alpha}=F(x) [\overline{r}_1, \overline{e}]+m_1[\overline{r}_1,\overline{g}],$
$m_2 l^2\ddot{\beta}=-F(x) [\overline{r}_2, \overline{e}]+m_2[\overline{r}_2,\overline{g}],$

где

$$x=|\overline{L}+\overline{r}_2-\overline{r}_1|-|\overline{L}|, \overline{e}=\frac{\overline{L}+\overline{r}_2-\overline{r}_1}{|\overline{L}+\overline{r}_2-\overline{r}_1|}$$

Пусть $t=\tau T$, $T=2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}.$ Тогда

$$ \frac{d^2\alpha}{d\tau^2}=-4\pi^2 \frac{x}{l} \left[\frac{\overline{r}_1}{l}, \overline{e}\right]+\left[\frac{\overline{r}_1}{l},\frac{T^2}{l}\overline{g}\right],$$

$$\frac{m_2}{m_1}\frac{d^2\beta}{d\tau^2}=4\pi^2 \frac{x}{l} \left[\frac{\overline{r}_2}{l}, \overline{e}\right]+\frac{m_2}{m_1}\left[\frac{\overline{r}_2}{l},\frac{T^2}{l}\overline{g}\right].$$

Поэтому, если

$$m_1 \ll m_2,$$

то

$$ \frac{d^2\alpha}{d\tau^2}=-4\pi^2 \frac{x}{l} \left[\frac{\overline{r}_1}{l}, \overline{e}\right]+\left[\frac{\overline{r}_1}{l},\frac{T^2}{l}\overline{g}\right],$$

$$\frac{d^2\beta}{d\tau^2}=\varepsilon4\pi^2 \frac{x}{l} \left[\frac{\overline{r}_2}{l}, \overline{e}\right]+\left[\frac{\overline{r}_2}{l},\frac{T^2}{l}\overline{g}\right].$$

Второе уравнение содержит член с $\varepsilon$, который можно интерпретировать как малое возмущение. При желании, левую часть этого уравнения можно разложить по степеням параметра $\varepsilon$ и приравнять члены при одинаковых степенях. Тогда для степени $n=0$ получим уравнение, которое описывает движение второго маятника в гравитационном поле. В общем, примерно в таком духе

[unistudent]

Вопрос снимается. Теория подобия и размерности немного о другом:)
Всем кто интересуется, конечно же, стоит обратить внимания на книгу Седова, как одного из создателей этой оригинальной теории. С помощью этой теории он в одну строчку решил задачу о точечном взрыве, в то время как американцы решали ее тогда численно.