Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения

[SpBTimes]

Классическое

$$\frac{\pi}{2} = \lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2 \frac{1}{2n + 1} $$

[roga]

$\pi \cdot e=6\prod \limits_{k=1}^{\infty}\left ( \frac{k}{k+1}\right )^{2k}\left (\frac{2k+3}{2k+1} \right )^{2k+1}$

[g______d]

Для почти всех $\alpha\in\mathbb R$

$$ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{q_n(\alpha)}=e^{\frac{\pi^2}{12\ln 2}}, $$

где $q_n(\alpha)$ — знаменатель цепной дроби, образованной первыми $n$ неполными частными цепной дроби для $\alpha$.

[Farest2]

Цитата:

Эх, хотел без дополнительных обозначений обойтись, и вышла ерунда

Можно и без дзета-обозначений записать, если знакопеременные ряды задействовать:

$$ \zeta(s)=\Bigl(1-\frac{1}{2^{s-1}}\Bigr)^{-1}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}. $$

Здесь для сходимости $\operatorname{Re} s>0$ уже достаточно.

[Три А,да]

Для $f(x)$ и $g(x)$, принадлежащих $C^{\infty}$, сумма

$\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n} f_n(x)g_{-n-1}(x)$

не зависит от $x$

где

$f_n(x)=\frac {d^n} {dx^n} f(x)$

отрицательные $n$ соответствуют взятию $n$-кратного интеграла (все возникающие при этом константы обнуляем)

[Brukvalub]

Три А,да в сообщении #992185 писал(а):

Для $f(x)$ и $g(x)$, принадлежащих $C^{\infty}$, сумма

$\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n} f_n(x)g_{-n-1}(x)$

не зависит от $x$

где

$f_n(x)=\frac {d^n} {dx^n} f(x)$

отрицательные $n$ соответствуют взятию $n$-кратного интеграла (все возникающие при этом константы обнуляем)

И о существовании суммы можно не беспокоиться?

[Три А,да]

Brukvalub в сообщении #993285 писал(а):

И о существовании суммы можно не беспокоиться?

Прошу прощения, если написал неточно. В данном случае имеется ввиду конечно, если сумма существует, то значение суммы не зависит от $x$.
Обозначим сумму через $S(x)$. Тогда, если сумма существует и найдена в какой-либо одной точке $x_0$ (равна конечному числу или бесконечности), то для любой другой точки $x$ можно записать
$S(x)=S(x_0)$
Исключения могут составлять точки разрыва, если такие имеются.

[ewert]

g______d в сообщении #842428 писал(а):

у меня не сразу получилось доказать, так что для меня, наверное, не банальность.

интересно, а почему?... Ведь первое, что приходит в голову, это попытаться посчитать $\int\limits_0^1x^n\ln^nx\,dx$, который равен $(-1)^n(n+1)^{-n-1}$ просто потому, что это гамма-функция. Хотя результат, да, приятный.

[ProPupil]

Разложение пирога. (калька с английского)
Пусть $E \subset \mathbb R^n$ - измеримое множество, и $f > 0$ - измеримая на нём функция. Тогда

$$f(x)=\int\limits_0^{+\infty} \chi_{E[f>t]}(x)\,dt$$

, где $\chi$ - характеристическая функция.


Интересная метризуемость.
Пусть $\{X_n\},X$ - случайные величины, причём $X_n \to X$ по распределению. Тогда

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left(\inf\{\varepsilon > 0: F_{X_n}(x-\varepsilon) - \varepsilon < F_X(x) < F_{X_n}(x+\varepsilon) + \varepsilon \quad \forall x \in \mathbb R\}\right)=0,$$

где $F_Y(x)$ - функции распределения случайной величины $Y$

[maxal]

maxal в сообщении #1017354 писал(а):

Я закинул эту задачу в Crux Mathematicorum, и там некто M. Bataille построил такое разложение:

$$\sum_{k=1}^n a_k^3 - \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)^2 = \sum_{k=1}^n a_k \sum_{j=1}^k (a_j + a_{j-1})(a_j - a_{j-1} -1),$$

где доопределено $a_0=0$. Отсюда моментально следует, что для $a_0=0<a_1<a_2<\dots<a_n$ это выражение неотрицательно и равно нулю только если равны нулю все $a_j - a_{j-1} -1$, то есть, $a_j=a_{j-1}+1$ для всех $j$. Значит, $a_j=j$, ч.т.д.

[grizzly]

Здесь сейчас рассматривают такие равенства (из вложенных ссылок там видна мотивация вопроса):

$$\sum\limits_{m=1}\limits^{\infty}\sum\limits_{n=1}\limits^{m-1}\frac{ 1}{m n\left(m^2-n^2\right)^2}= \sum\limits_{m=1}\limits^{\infty}\sum\limits_{n=m+1}\limits^{\infty}\frac{ 1}{m n\left(m^2-n^2\right)^2}=\dfrac{\pi^6}{2^5\cdot 3^4\cdot 5}$$

Интерес вызывает как первое, так и второе равенство (даже не знаю, кому какое больше :)
Они там пока не доказаны (но с высокой долей правдоподобия установлены численными методами).

-- 22.05.2015, 20:04 --

С первым равенством разобрались -- слева есть то же, что справа, но с другим порядком суммирования. Просто, но немного необычно (жаль, магия рассеивается :)

[zvm]

Вероятность несократимости дроби $\frac{m}{n}$ с натуральными $m, n$ равна $\frac{6}{\pi^2}$.

[ex-math]

grizzly
Может, на простые дроби попробовать разложить, а для сумм таких дробей и асимптотики можно получить (как для частичной суммы гармонического ряда). Вот только лень возиться

[grizzly]

ex-math
Спасибо! Я уверен, что Вы не ошиблись. Я попытаюсь. К тому же нашёл по ссылкам здесь доказанное предложенным Вами способом похожее равенство:

$$\sum\limits_{k=1}\limits^{\infty} \sum\limits_{n=1}\limits^{\infty} \frac{1}{n^2k^2(n+k)^2} & = \frac{1}{3}\zeta(6)$$

(Решил и его включить в эту тему. Я раньше с такими двойными суммами не сталкивался, и вот показалось захватывающе красивым :)

[grizzly]

Совсем элементарно формулируемое утверждение (J.C.Lagarias, 2000) эквивалентно гипотезе Римана (по ссылке есть наглядный график, но я не знаю, разрешают ли его оттель брать):

Для всех $n\ge 1$

$$ \sum\limits_{d|n}d\le H_n + e^{H_n}\ln H_n,\qquad \text{где} \quad H_n=1+\frac12+\frac13+...+\frac1n. $$