2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Научиться работать с бесконечностью
Сообщение25.03.2015, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5557
Не секрет, что на бесконечные множества не распространяются многие утверждения, верные для конечных множеств.
Пример 1. Всякое бесконечное множество равномощно некоторому своему собственному подмножеству.
Пример 2. Если множество для любых своих членов $a_1, a_2$ содержит $b = a_1\oplus a_2$, где $\oplus$ - некоторая бинарная операция, то для любых своих членов $a_1, a_2,... a_n$, где $n$ конечно, оно содержит $b = a_1\oplus a_2\oplus...\oplus a_n$. Для бесконечного числа операндов это может быть не так. Поэтому, скажем, не всякое кольцо множеств является $\sigma$-алгеброй.
Пример 3. В сумме бесконечного числа слагаемых перестановка слагаемых может изменить сумму (теорема Римана об условно сходящемся ряде).
Пример 4. Пересечение бесконечного числа вложенных друг в друга бесконечных множеств может быть пусто. Таково, скажем, пересечение всех лучей вида $[a, \infty)$.
Вот на последнем примере моя интуиция в истерике бьется головой о стену (что это вообще за ...?! Как такое может быть?!!). Но ведь и правда - существует ли точка, принадлежащая всем лучам? Нет, для любой точки $x$ мы можем рассмотреть луч $[x+1, \infty)$, в который она не входит. Значит, пересечение всех лучей пусто.

В общем, проблема понятна - привыкшая к конечным множествам интуиция сбоит при работе с множествами бесконечными. Тем не менее, я был свидетелем, как присутствующие здесь уважаемые участники (видимо, профессиональные математики), по щелчку пальцев выявляли разные связанные с бесконечностью закавыки. Я тоже так хочу, но не уверен, что готов тратить много лет на профессиональные занятия математикой. Отсюда вопрос:

есть ли книга вроде сборника технических приемов по доказательству и опровержению гипотез, в которых фигурируют бесконечные множества, с задачами, на которых эти приемы можно отточить?

Поясню, что я понимаю под техническими приемами. Один такой прием я только что использовал: чтобы выяснить, не пусто ли пересечение всех множеств из некоторой системы множеств $S$, полезно задаться вопросом, существует ли элемент, принадлежащий каждому множеству из $S$. Другой полезный прием - диагональный метод Кантора. Он позволяет доказывать несчетность множеств (например, несчетность множества всех сюръекций $\mathbb{N} \to\mathbb{N}$). Еще один пример не имеет прямого отношения к бесконечности, но иллюстрирует, что я понимаю под техническим приемом. Это прием доказательства единственности: чтобы доказать, что некоторому условию удовлетворяет единственный $x$, надо рассмотреть два таких $x$ и показать, что они совпадают.

В общем, надеюсь, я внятно сформулировал, какую книжку я хочу. Если такой нет, то что-нибудь максимально близкое. "Контрпримеры в анализе" Гелбаума у меня есть, но сборник голых контрпримеров приводит только к хтоническому ужасу и мысли "..., что для этих бесконечных множеств вообще можно доказать?". А хочется все-таки приручить эту бесконечность. И - да, с азами теории множеств в аксиоматике Цермело-Френкеля я знаком, так что это рекомендовать не надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Научиться работать с бесконечностью
Сообщение25.03.2015, 20:29 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Задачи решайте и постепенно научитесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Научиться работать с бесконечностью
Сообщение25.03.2015, 20:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1211
Самара
Разбирать доказательства нужно. В том же анализе. Анализировать доказательства. Как они строятся, из каких-шагов состоят. Разные-разные. Постепенно и почерпнете так нужные Вам приемы. Только быстро и в одной книжке сразу все - это вряд ли

 Профиль  
                  
 
 Re: Научиться работать с бесконечностью
Сообщение25.03.2015, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва

(Оффтоп)

А когда наберетесь опыта - обязательно напишИте искомую вами книгу!

 Профиль  
                  
 
 Re: Научиться работать с бесконечностью
Сообщение25.03.2015, 23:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5557
Brukvalub в сообщении #995665 писал(а):

(Оффтоп)

А когда наберетесь опыта - обязательно напишИте искомую вами книгу!


(Оффтоп)

Не исключено, что и напишу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group