Научиться работать с бесконечностью

[Anton_Peplov]

Не секрет, что на бесконечные множества не распространяются многие утверждения, верные для конечных множеств.
Пример 1. Всякое бесконечное множество равномощно некоторому своему собственному подмножеству.
Пример 2. Если множество для любых своих членов $a_1, a_2$ содержит $b = a_1\oplus a_2$, где $\oplus$ - некоторая бинарная операция, то для любых своих членов $a_1, a_2,... a_n$, где $n$ конечно, оно содержит $b = a_1\oplus a_2\oplus...\oplus a_n$. Для бесконечного числа операндов это может быть не так. Поэтому, скажем, не всякое кольцо множеств является $\sigma$-алгеброй.
Пример 3. В сумме бесконечного числа слагаемых перестановка слагаемых может изменить сумму (теорема Римана об условно сходящемся ряде).
Пример 4. Пересечение бесконечного числа вложенных друг в друга бесконечных множеств может быть пусто. Таково, скажем, пересечение всех лучей вида $[a, \infty)$.
Вот на последнем примере моя интуиция в истерике бьется головой о стену (что это вообще за ...?! Как такое может быть?!!). Но ведь и правда - существует ли точка, принадлежащая всем лучам? Нет, для любой точки $x$ мы можем рассмотреть луч $[x+1, \infty)$, в который она не входит. Значит, пересечение всех лучей пусто.

В общем, проблема понятна - привыкшая к конечным множествам интуиция сбоит при работе с множествами бесконечными. Тем не менее, я был свидетелем, как присутствующие здесь уважаемые участники (видимо, профессиональные математики), по щелчку пальцев выявляли разные связанные с бесконечностью закавыки. Я тоже так хочу, но не уверен, что готов тратить много лет на профессиональные занятия математикой. Отсюда вопрос:

есть ли книга вроде сборника технических приемов по доказательству и опровержению гипотез, в которых фигурируют бесконечные множества, с задачами, на которых эти приемы можно отточить?

Поясню, что я понимаю под техническими приемами. Один такой прием я только что использовал: чтобы выяснить, не пусто ли пересечение всех множеств из некоторой системы множеств $S$, полезно задаться вопросом, существует ли элемент, принадлежащий каждому множеству из $S$. Другой полезный прием - диагональный метод Кантора. Он позволяет доказывать несчетность множеств (например, несчетность множества всех сюръекций $\mathbb{N} \to\mathbb{N}$). Еще один пример не имеет прямого отношения к бесконечности, но иллюстрирует, что я понимаю под техническим приемом. Это прием доказательства единственности: чтобы доказать, что некоторому условию удовлетворяет единственный $x$, надо рассмотреть два таких $x$ и показать, что они совпадают.

В общем, надеюсь, я внятно сформулировал, какую книжку я хочу. Если такой нет, то что-нибудь максимально близкое. "Контрпримеры в анализе" Гелбаума у меня есть, но сборник голых контрпримеров приводит только к хтоническому ужасу и мысли "..., что для этих бесконечных множеств вообще можно доказать?". А хочется все-таки приручить эту бесконечность. И - да, с азами теории множеств в аксиоматике Цермело-Френкеля я знаком, так что это рекомендовать не надо.

[AV_77]

Задачи решайте и постепенно научитесь.

[Henrylee]

Разбирать доказательства нужно. В том же анализе. Анализировать доказательства. Как они строятся, из каких-шагов состоят. Разные-разные. Постепенно и почерпнете так нужные Вам приемы. Только быстро и в одной книжке сразу все - это вряд ли

[Brukvalub]

(Оффтоп)

А когда наберетесь опыта - обязательно напишИте искомую вами книгу!

[Anton_Peplov]

Brukvalub в сообщении #995665 писал(а):

(Оффтоп)

А когда наберетесь опыта - обязательно напишИте искомую вами книгу!

(Оффтоп)

Не исключено, что и напишу.