системы переменного состава

[Oleg Zubelevich]

Предположим, что в некоторой области $U\subseteq\mathbb{R}^3$ движется сплошная среда. В $U$ введены стандартые декартовы координаты $x$ и лагранжевы координаты $\xi$. Так, что скорость индивидуальной точки среды равна $\overline v(t,\xi)$, а плотность среды задается фунцией $\rho(\xi)$. Закон движения среды описывается диффеоморфизмом $\xi\mapsto x(t,\xi)$.


Выделим в $U$ некоторый постоянный объем $D$ -- ограниченная область с гладкой границей. Импульс вещества, содержащегося в объеме $D$ вычисляется по формуле

$$\overline P=\int_D\overline v(t,\xi(t,x))\rho(\xi(t,x))|\xi_x(t,x)| d^3x.$$

Посчитаем

$$\dot{\overline P}=\int_D(\overline v_t+\overline v_\xi\xi_t)\nu d^3x+\int_D\overline v\nu_t d^3x,\quad \nu(t,x)=\rho(\xi(t,x))|\xi_x(t,x)|.$$

В этой формуле $\overline v_t=\overline f(t,\xi(t,x))$, где
$\overline f$ -- плотность сил, действующих на точки среды. В эту обобщенную вообще говоря функцию входят и массовые и поверхностные силы

Поскольку $x(t,\xi(t,x))=x$ будет $\overline v+x_\xi\xi_t=0$ отсюда

$$\int_D\overline v_\xi\xi_t\nu d^3x=-\int_D\overline v_x \overline v\nu d^3x=-\int_{\partial D}\overline v (\overline v,\overline n)\nu ds+\int_D\mathrm{div}\,(\nu\overline v) \overline vd^3 x,$$

где $\overline n$ -- вектор внешней единичной нормали $\partial D,\quad ds$ -- элемент площади.
C учетом уравнения неразрывности $\nu_t+\mathrm{div}\,(\nu\overline v)=0$ получаем окончательно

$$\dot{\overline P}=\overline F-\int_{\partial D}\overline v (\overline v,\overline n)\nu ds,\qquad (*)$$

где $\overline F=\int_D\overline f\nu d^3x,$ -- равнодействующая внешних сил действующих на объем $D$.

Формула (*) есть не что иное, как уравнение Мещерского; ср. с post969914.html#p969914

[Munin]

Oleg Zubelevich
Я вас о другом хотел спросить. Я тут одному товарищу сказал, что в курсах теоремеха рассматривают абсолютно твёрдое тело, потому что переход от него к неабсолютно твёрдому скучен и техничен.

Рассмотрим тело - множество точек с фиксированными координатами. Допустим, оно линейно деформируемо: деформация есть линейное преобразование координат точек. При этом, силы упругости тоже линейны. И деформации малы (про силы этого сказать нельзя).

Интересует механика такого тела по сравнению с механикой абсолютно твёрдого тела. Будут ли они отличаться только скучными поправками, или возникнут какие-то новые эффекты и теоретические концепции?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #995421 писал(а):

Допустим, оно линейно деформируемо: деформация есть линейное преобразование координат точек

т.е. это система с конечным числом ($\le 12$) степеней свободы?

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #995543 писал(а):

т.е. это система с конечным числом ($\le 12$) степеней свободы?

Ага (число не считал).

Ну так и абсолютно твёрдое тело - с конечным числом ($\leqslant 6$) степеней свободы.

[Oleg Zubelevich]

я пытаюсь понять вопрос.

Munin в сообщении #995421 писал(а):

И деформации малы (про силы этого сказать нельзя).

т.е. каакой-то малый параметр, если этот параметр равен нулю то тело твердое.

Munin в сообщении #995421 писал(а):

Будут ли они отличаться только скучными поправками, или возникнут какие-то новые эффекты и теоретические концепции?

возникнут, разумеется. например, рассмотрим такое движение этого тела, такое, что при значении малого параметра=0 у нас получается случай Лагранжа. наверняка, если добавить деформируемость, задача станет неинтегрируемой. новых эффектов по сравнению с интегрируемым случчаем будет масса

-- Ср мар 25, 2015 19:10:40 --

неинтегрируемой в содержательном смысле, это если возмущенная система осталась гамильтоновой, а так тоже будут новые эффекты, аттракторы могут появиться, что угодно может быть

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #995558 писал(а):

т.е. каакой-то малый параметр, если этот параметр равен нулю то тело твердое.

Да.

Oleg Zubelevich в сообщении #995558 писал(а):

наверняка, если добавить деформируемость, задача станет неинтегрируемой. новых эффектов по сравнению с интегрируемым случчаем будет масса

неинтегрируемой в содержательном смысле, это если возмущенная система осталась гамильтоновой, а так тоже будут новые эффекты, аттракторы могут появиться, что угодно может быть

Спасибо!

[limarodessa]

Как я понимаю (это я к диспуту в последних сообщениях) речь частично идет о таком разделе теоретической механики как "аналитическая динамика" ("аналитическая механика"). Или я ошибаюсь ? Впрочем там кажется гамильтонов формализм (а он выше упоминался) не рассматривается. Только лагранжев по-моему

[Munin]

Аналитическая механика - это как раз лагранжева + гамильтонова.

В одних учебниках она рассказывается как часть "теоретической механики", в других - изложение практически полностью из неё и состоит.

-- 25.03.2015 20:45:37 --

P. S. Теорфизики свысока смотрят на любой учебник, не уделяющий лагранжевой и гамильтоновой механике места вообще. Пусть он трижды называется "теоретическая механика" - это не то.

[limarodessa]

Munin в сообщении #995616 писал(а):

P. S. Теорфизики свысока смотрят на любой учебник, не уделяющий лагранжевой и гамильтоновой механике места вообще. Пусть он трижды называется "теоретическая механика" - это не то.

Ув. Munin, я перед тем как закончить университет закончил технический ВУЗ. Причём - учился ещё во времена СССР. В технических ВУЗах не преподавали тогда механику по ЛЛ. Все инженеры готовившиеся во времена СССР учили теоретическую механику по учебникам типа автора Тарг. Кроме того они учили механику в рамках общего курса физики по учебнику Савельева (иногда Детлаф, Трофимова). Никаких признаков гамильтонова формализма там нет и в помине. Поэтому когда инженер закончивший ВУЗ во времена СССР иногда заводил беседу с выпускником физфака на тему механики, физик не понимал значения словосочетания "теоретическая механика" (ему милее "классическая механика" которую в свою очередь путал с термехом инженер), а инженер, в свою очередь, делал круглые глаза когда ему сообщали что существует такая вещь как неньютоновская механика

[Munin]

limarodessa в сообщении #995636 писал(а):

Все инженеры готовившиеся во времена СССР учили теоретическую механику по учебникам типа автора Тарг.

Ну да. Я знаю. Это трагично.

Но инженеры бывают разные. Не все из них - инженеры-механики. Есть инженеры-электронщики. И вот им давали теормех вполне по ЛЛ-1. Потому что иначе нельзя дать квантмех. Ну сами понимаете, гамильтонов формализм мы квантовать умеем, лагранжев с грехом пополам, ньютонов - никак вообще.