Абсолютно непрерывные функции дифференцируемы всегда?

[Divergence]

Непрерывные функции могут быть недифференцируемыми.
Например, функция Вейерштрасса является непрерывной функцией, которая нигде не дифференцируема (не имеющей производной).

Согласно Теореме Лебега. (https://ru.wikipedia.org/wiki/Абсолютная_непрерывность)
Если $f(x)$ абсолютно непрерывна на (a,b), то $f^{\prime}(x)$ является интегрируемой, и для почти всех $x\in[a,b]$
$f(x)=f(a)+\int^x_a f^{\prime} (x) dx$.

Значит ли это, что "Если $f(x)$ абсолютно непрерывна на (a,b), то она дифференцируема"?

Существуют ли абсолютно непрерывные функции, которые недифференцируемы?

То есть непрерывные функции могут быть недифференцируемыми, а абсолютно непрерывные нет?

[Brukvalub]

Попробуйте построить пример абсолютно непрерывной функции со счетным множеством "изломов" на ее графике, в которых у этой функции нет производной.
В учебниках ТФДП стандартно доказывается, что абсолютно непрерывная функция дифференцируема почти всюду, но не более того.

[ИСН]

Divergence, Вы употребляете много слов, которые не имеют смысла без конкретизации: где? Где дифференцируема?

[Divergence]

Вроде написал конечный интервал действительной оси $(a,b)$.
Согласен, что надо говорить о дифференцируемости почти всюду.

[ИСН]

ОК, ну а что является антонимом к дифференцируемости почти всюду?

[Divergence]

недифференцируемость почти всюду

[ИСН]

Оригинальный взгляд. А куда отнесём такие состояния, как дифференцируемость в одних областях и недифференцируемость в других, причём ни те, ни другие не могут быть охарактеризованы как "почти всюду"?

[svv]

Это примерно вот что.
Абсолютно непрерывные функции дифференцируемы всегда?
Выберите правильный ответ:
$\bullet$ Да, абсолютно непрерывные функции всегда дифференцируемы.
$\bullet$ Нет, абсолютно непрерывные функции всегда недифференцируемы.

[ewert]

Divergence в сообщении #995383 писал(а):

Согласно Теореме Лебега. (https://ru.wikipedia.org/wiki/Абсолютная_непрерывность)
Если $f(x)$ абсолютно непрерывна на (a,b), то $f^{\prime}(x)$ является интегрируемой, и для почти всех $x\in[a,b]$
$f(x)=f(a)+\int^x_a f^{\prime} (x) dx$.

Статья безобразна. В частности, эта формулировка нелепа: равенство выполняется не почти, а просто всюду. Уж не говоря о том, что без упоминания (хоть где-нибудь) о дифференцируемости почти всюду эта формулировка просто бессмысленна. Не менее нелепо выглядит, кстати, фраза

Цитата:

Абсолютно непрерывная на отрезке функция является равномерно непрерывной, и, следовательно, непрерывной.

[Brukvalub]

ewert критиковать легко, а вот возьмите и поправьте статью! СлабО?

[tavrik]

про сходимость рядов иногда пишут подобное - если ряд сходится абсолютно то он сходится.
это лишнее, но как бы в педагогических целях - студент парится над доказательством и не замечает что ряд/интеграл и тд сходится абсолютно и парится не к чему.

[Brukvalub]

tavrik в сообщении #1001231 писал(а):

про сходимость рядов иногда пишут подобное - если ряд сходится абсолютно то он сходится.
это лишнее, но как бы в педагогических целях - студент парится над доказательством и не замечает что ряд/интеграл и тд сходится абсолютно и парится не к чему.

Все больше "педагогов", которые "слышали звон, да не знают, где он".
В дальнейшем, лучше на "парьтесь" с такими "объяснениями" и не "парьте мозги" другим.

[AGu]

(Оффтоп)

tavrik, Вы не подумайте, что Brukvalub защищает какие-то там косные преподавательские стандарты. Вы действительно ерунду сморозили.

[ewert]

tavrik в сообщении #1001231 писал(а):

про сходимость рядов иногда пишут подобное - если ряд сходится абсолютно то он сходится.
это лишнее

Это нельзя назвать лишним; это просто неграмотная формулировка. Подразумевается "если сходится ряд из модулей", а произносится "если сходится абсолютно". Видимо, думается при этом, что так вразумительнее и красивше.

Да, так бывает, в т.ч. и среди преподов. Ну что поделать -- безграмотных людей везде хватает.

-- Ср апр 08, 2015 00:24:04 --

Brukvalub в сообщении #995896 писал(а):

а вот возьмите и поправьте статью! СлабО?

СлабО. Это ж надо её почти с нуля переписывать, а мне недосуг.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #1001412 писал(а):

tavrik в сообщении #1001231 писал(а):

про сходимость рядов иногда пишут подобное - если ряд сходится абсолютно то он сходится.
это лишнее

Это нельзя назвать лишним; это просто неграмотная формулировка. Подразумевается "если сходится ряд из модулей", а произносится "если сходится абсолютно". Видимо, думается при этом, что так вразумительнее и красивше.

Да, так бывает, в т.ч. и среди преподов. Ну что поделать -- безграмотных людей везде хватает.

ewert, уж Вам-то подобные глупости писать совсем ни к лицу. Неужто Вы не знаете, что термин "абсолютная сходимость" является общепринятым и используется во всех учебниках математического анализа?