Исследовать сходимость знакоположительного ряда.

[melnikoff]

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{4n}{n^2+3\sqrt{n^5}+4}$.
Сначала идея возникла такая: $\frac{4n}{n^2+3\sqrt{n^5}+4}<\frac{4n}{n^2+3\sqrt{n^4}+4}=\frac{n}{n^2+1}$.
Теперь стоит вопрос о том, сходится ли ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{n^2+1}$ и если сходится, то как это показать?
Признаки Даламбера и Коши не подходят.

[svv]

О том ли ряде Вы ставите вопрос? Посмотрите внимательно на знаменатель.

[melnikoff]

svv, ничего не понял. Можете конкретизировать?

[svv]

Обратите внимание на $\sqrt{n^5}=n^{5/2}$. Незаслуженно принижен.

[melnikoff]

То есть нужно взять такое сравнение $\frac{4n}{n^2+3n^3+4}<\frac{4n}{n^2+3\sqrt{n^5}+4}$?
А, нет.
$\frac{4n}{n^2+3\sqrt{n^5}+4}<\frac{4n}{3n^\frac{5}{2}}=\frac{4}{3n^{\frac{3}{2}}}.$
А так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{4}{3n^{\frac{3}{2}}}$ сходится, то и первоначальный ряд так же сходится.

[svv]

Для больших $n$ в знаменателе основным слагаемым будет именно оно. Именно оно определяет сходимость/расходимость ряда.
А, кстати, как ведёт себя ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{\sqrt{n^5}}$ ? Что будем пытаться доказывать — сходимость или расходимость?

Ага, Вы уже всё написали. Всё хорошо.

[melnikoff]

svv, спасибо за помощь.

[bot]

melnikoff в сообщении #995098 писал(а):

То есть нужно взять такое сравнение ...

А если бы был ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{4n}{3\sqrt{n^5}-n^2-4} ?$