Ортогональные проекции в евклидовых пространствах

[Viktor92]

Здравствуйте. Можете проверить правильность решения следующей задачи: Пусть в $E_3$ есть ортонормированные базис, в нём координатный столбец вектора $x$ есть $\xi$, подпространство $L$ натянуто на вектора $a_1,a_2$, которые имеют координатные столбцы $\eta$ и $\zeta$.
Найти ортогональные проекции вектора $x$ на $L$ и $L_d$ (ортогональное дополнение $L$), т.е. представить его в виде $x=x_1+x_2$, где $x_1\in{L}$, а $x_2\in{L_d}$.
Мое решение: $x_1=\frac{(a_1,x)}{(a_1,a_1)}a_1+\frac{(a_2,x)}{(a_2,a_2)}a_2$, a $x_2=x-x_1$
Подставляя соответствующие координатные столбцы находим решение.
С моей точки зрения всё в порядке, а с ответами не сходится, где я ошибаюсь?

[svv]

Viktor92 в сообщении #994574 писал(а):

$x_1=\frac{(a_1,x)}{(a_1,a_1)}a_1+\frac{(a_2,x)}{(a_2,a_2)}a_2$

Это правильно, если векторы $a_1$ и $a_2$ ортогональны.
Пусть $x_L=c_1 a_1+...+c_m a_m$ (разберем общий случай, чтобы ничего не бояться). Это Ваш $x_1$, но моё обозначение чуть лучше.
Найдите $(x, a_k)=(x_L, a_k)=...$
Получите систему уравнений с неизвестными $c_k$.

[Brukvalub]

Viktor92 в сообщении #994574 писал(а):

..
Мое решение: $x_1=\frac{(a_1,x)}{(a_1,a_1)}a_1+\frac{(a_2,x)}{(a_2,a_2)}a_2$, a $x_2=x-x_1$
...

С моей точки зрения, вы написали некий "ответ", а где же решение?

[svv]

Так это же очевидно!
Правильное решение сложнее и не так очевидно, но это, если его считать правильным, трудно даже разбить на какие-то этапы.

[Viktor92]

svv в сообщении #994581 писал(а):

Это правильно, если векторы $a_1$ и $a_2$ ортогональны.
Пусть $x_L=c_1 a_1+...+c_m a_m$ (разберем общий случай, чтобы ничего не бояться). Это Ваш $x_1$, но моё обозначение чуть лучше.
Найдите $(x, a_k)=(x_L, a_k)=...$
Получите систему уравнений с неизвестными $c_k$.

Т.е. в матричном виде решение можно записать так, пусть $A$ матрица из координатных столбцов векторов $a_1...a_m$, а $G$ матрица Грама этой системы векторов и $\xi$ координатный столбец вектора $x$, $c$-столбец из неизвестных $c_1..c_m$, тогда решаем систему $Gc=A^T\xi$ и подставляем её решения в $x_L=Ac$

[svv]

Точно.
$A^\top A \;c = A^\top \xi$
Думаю, подобная система Вам встретится ещё не раз.

[Viktor92]

В общем виде теорию мы вывели, а вот задача с числовыми данными так и не решилась.... Вот она: подпространство $L$ - линейная оболочка векторов $a_1...a_k$ В ортонормированном базисе заданы координатные столбцы этих векторов и столбец $\xi$ вектора $x$. Найти координатные столбцы $\xi_1,\xi_2$ ортогональных проекций вектора $x$ соответственно на $L$ и $L_d$ (ортогонально дополнение).
$a_1=(6,1,5)^T a_2=(4 ,-1, 3)^T$ $\xi=(1 , 3, -2)^T$
Система уравнений получается такой $62c_1+38c_2=-1$ и $38 c_1+26 c_2=-5$, решив её и подставив столбец решения в $\xi_1=Ac$, где $A$ матрица из координатных столбцов векторов $a_1..a_k$, получаю такой ответ:
$\xi_1=\frac{41}{42}(6,1,5)^T-\frac {34} {21}(4,-1,3)^T$, тут уж вычислять до конца не стал, т.к. правильный ответ
$\xi_1=(-3,2,-2)^T$, так что что-то не так....

[svv]

В этой ситуации Вы вправе отстаивать свои права.
Вы получили (я не буду делать различие между вектором и набором его координат):
$x_1=\frac 1 {42}(-26,109,1)$
$x_2=\frac{1}{42}(68,17,-85)=\frac{17}{42}(4,1,-5)$
Легко проверяется, что
$x_1+x_2=(1,3,-2)=x$
$x_1=\frac{41}{42}a_1-\frac {68}{42}a_2$, т.е. $x_1$ — линейная комбинация $a_1$ и $a_2$, т.е. $x_1\in L$
$(x_2, a_1)=0$ и $(x_2, a_2)=0$, т.е. $x_2\in L_d$

А требуемое-то разложение вектора, как Вы догадываетесь, единственно.

[Viktor92]

Так то всё сходится , неужели опечатка в задачнике, надо будет на других задачах метод отработать

[Viktor92]

svv в сообщении #994581 писал(а):

Это правильно, если векторы $a_1$ и $a_2$ ортогональны.
Пусть $x_L=c_1 a_1+...+c_m a_m$ (разберем общий случай, чтобы ничего не бояться). Это Ваш $x_1$, но моё обозначение чуть лучше.
Найдите $(x, a_k)=(x_L, a_k)=...$
Получите систему уравнений с неизвестными $c_k$.

Спасибо svv, попробовал порешать похожие задачи, метод рабочий. Вот только задумался, что в основе его мы полагаем, что скалярное произведение вектора $x$ на какой- либо вектор из линейной оболочки $a_1...a_k$
, равняется скалярному произведению его ортогональной векторной проекции $x_L$ на подпространство $L$, на соответствующий вектор линейной оболочки $a_1..a_k$, что в общем-то не является очевидным и требует своего доказательства, думаю наиболее просто это доказать например для пространства $E_3$ методами аналитической геометрии или может есть более простой алгебраический способ это показать?

[svv]

О, если бы все вопросы были такими простыми! Пусть для краткости $D=L_d$, от слова Dополнение . Пусть $a$ — произвольный вектор из $L$ (например, любой из $a_i$).
$(x, a)=(x_L+x_D, a)=(x_L, a)+(x_D, a)$
Но вектор $a\in L$, а вектор $x_D\in D$. А что такое $D$ по определению? Это множество всех векторов, ортогональных любому вектору из $L$. Значит, $(x_D, a)=0$, и
$(x, a)=(x_L, a)$