2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Ортогональные проекции в евклидовых пространствах
Сообщение23.03.2015, 17:07 
Здравствуйте. Можете проверить правильность решения следующей задачи: Пусть в $E_3$ есть ортонормированные базис, в нём координатный столбец вектора $x$ есть $\xi$, подпространство $L$ натянуто на вектора $a_1,a_2$, которые имеют координатные столбцы $\eta$ и $\zeta$.
Найти ортогональные проекции вектора $x$ на $L$ и $L_d$ (ортогональное дополнение $L$), т.е. представить его в виде $x=x_1+x_2$, где $x_1\in{L}$, а $x_2\in{L_d}$.
Мое решение: $x_1=\frac{(a_1,x)}{(a_1,a_1)}a_1+\frac{(a_2,x)}{(a_2,a_2)}a_2$, a $x_2=x-x_1$
Подставляя соответствующие координатные столбцы находим решение.
С моей точки зрения всё в порядке, а с ответами не сходится, где я ошибаюсь?

 
 
 
 Re: Ортогональные проекции в евклидовых пространствах
Сообщение23.03.2015, 17:30 
Аватара пользователя
Viktor92 в сообщении #994574 писал(а):
$x_1=\frac{(a_1,x)}{(a_1,a_1)}a_1+\frac{(a_2,x)}{(a_2,a_2)}a_2$
Это правильно, если векторы $a_1$ и $a_2$ ортогональны.
Пусть $x_L=c_1 a_1+...+c_m a_m$ (разберем общий случай, чтобы ничего не бояться). Это Ваш $x_1$, но моё обозначение чуть лучше. :-)
Найдите $(x, a_k)=(x_L, a_k)=...$
Получите систему уравнений с неизвестными $c_k$.

 
 
 
 Re: Ортогональные проекции в евклидовых пространствах
Сообщение23.03.2015, 17:48 
Аватара пользователя
Viktor92 в сообщении #994574 писал(а):
..
Мое решение: $x_1=\frac{(a_1,x)}{(a_1,a_1)}a_1+\frac{(a_2,x)}{(a_2,a_2)}a_2$, a $x_2=x-x_1$
...
С моей точки зрения, вы написали некий "ответ", а где же решение?

 
 
 
 Re: Ортогональные проекции в евклидовых пространствах
Сообщение23.03.2015, 17:52 
Аватара пользователя
Так это же очевидно!
Правильное решение сложнее и не так очевидно, но это, если его считать правильным, трудно даже разбить на какие-то этапы.

 
 
 
 Re: Ортогональные проекции в евклидовых пространствах
Сообщение23.03.2015, 19:32 
svv в сообщении #994581 писал(а):
Это правильно, если векторы $a_1$ и $a_2$ ортогональны.
Пусть $x_L=c_1 a_1+...+c_m a_m$ (разберем общий случай, чтобы ничего не бояться). Это Ваш $x_1$, но моё обозначение чуть лучше. :-)
Найдите $(x, a_k)=(x_L, a_k)=...$
Получите систему уравнений с неизвестными $c_k$.

Т.е. в матричном виде решение можно записать так, пусть $A$ матрица из координатных столбцов векторов $a_1...a_m$, а $G$ матрица Грама этой системы векторов и $\xi$ координатный столбец вектора $x$, $c$-столбец из неизвестных $c_1..c_m$, тогда решаем систему $Gc=A^T\xi$ и подставляем её решения в $x_L=Ac$

 
 
 
 Re: Ортогональные проекции в евклидовых пространствах
Сообщение23.03.2015, 21:24 
Аватара пользователя
Точно.
$A^\top A \;c = A^\top \xi$
Думаю, подобная система Вам встретится ещё не раз.

 
 
 
 Re: Ортогональные проекции в евклидовых пространствах
Сообщение23.03.2015, 21:43 
В общем виде теорию мы вывели, а вот задача с числовыми данными так и не решилась.... Вот она: подпространство $L$ - линейная оболочка векторов $a_1...a_k$ В ортонормированном базисе заданы координатные столбцы этих векторов и столбец $\xi$ вектора $x$. Найти координатные столбцы $\xi_1,\xi_2$ ортогональных проекций вектора $x$ соответственно на $L$ и $L_d$ (ортогонально дополнение).
$a_1=(6,1,5)^T a_2=(4 ,-1,  3)^T$ $\xi=(1 ,  3, -2)^T$
Система уравнений получается такой $62c_1+38c_2=-1$ и $38 c_1+26 c_2=-5$, решив её и подставив столбец решения в $\xi_1=Ac$, где $A$ матрица из координатных столбцов векторов $a_1..a_k$, получаю такой ответ:
$\xi_1=\frac{41}{42}(6,1,5)^T-\frac {34} {21}(4,-1,3)^T$, тут уж вычислять до конца не стал, т.к. правильный ответ
$\xi_1=(-3,2,-2)^T$, так что что-то не так....

 
 
 
 Re: Ортогональные проекции в евклидовых пространствах
Сообщение23.03.2015, 23:42 
Аватара пользователя
В этой ситуации Вы вправе отстаивать свои права. :-)
Вы получили (я не буду делать различие между вектором и набором его координат):
$x_1=\frac 1 {42}(-26,109,1)$
$x_2=\frac{1}{42}(68,17,-85)=\frac{17}{42}(4,1,-5)$
Легко проверяется, что
$x_1+x_2=(1,3,-2)=x$
$x_1=\frac{41}{42}a_1-\frac {68}{42}a_2$, т.е. $x_1$ — линейная комбинация $a_1$ и $a_2$, т.е. $x_1\in L$
$(x_2, a_1)=0$ и $(x_2, a_2)=0$, т.е. $x_2\in L_d$

А требуемое-то разложение вектора, как Вы догадываетесь, единственно. :wink:

 
 
 
 Re: Ортогональные проекции в евклидовых пространствах
Сообщение24.03.2015, 16:52 
Так то всё сходится , неужели опечатка в задачнике, надо будет на других задачах метод отработать :-)

 
 
 
 Re: Ортогональные проекции в евклидовых пространствах
Сообщение25.03.2015, 21:26 
svv в сообщении #994581 писал(а):
Это правильно, если векторы $a_1$ и $a_2$ ортогональны.
Пусть $x_L=c_1 a_1+...+c_m a_m$ (разберем общий случай, чтобы ничего не бояться). Это Ваш $x_1$, но моё обозначение чуть лучше. :-)
Найдите $(x, a_k)=(x_L, a_k)=...$
Получите систему уравнений с неизвестными $c_k$.

Спасибо svv, попробовал порешать похожие задачи, метод рабочий. Вот только задумался, что в основе его мы полагаем, что скалярное произведение вектора $x$ на какой- либо вектор из линейной оболочки $a_1...a_k$
, равняется скалярному произведению его ортогональной векторной проекции $x_L$ на подпространство $L$, на соответствующий вектор линейной оболочки $a_1..a_k$, что в общем-то не является очевидным и требует своего доказательства, думаю наиболее просто это доказать например для пространства $E_3$ методами аналитической геометрии или может есть более простой алгебраический способ это показать?

 
 
 
 Re: Ортогональные проекции в евклидовых пространствах
Сообщение25.03.2015, 22:31 
Аватара пользователя
О, если бы все вопросы были такими простыми! Пусть для краткости $D=L_d$, от слова Dополнение :-) . Пусть $a$ — произвольный вектор из $L$ (например, любой из $a_i$).
$(x, a)=(x_L+x_D, a)=(x_L, a)+(x_D, a)$
Но вектор $a\in L$, а вектор $x_D\in D$. А что такое $D$ по определению? Это множество всех векторов, ортогональных любому вектору из $L$. Значит, $(x_D, a)=0$, и
$(x, a)=(x_L, a)$

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group