Диофантово кубическое уравнение

[TR63]

Требуется решить в натуральных ненулевых числах уравнение:
$x^3+x-7y^2=0$
Решать будем методом от противного. Допустим, что такое решение $(x;y)$ существует. Тогда существует минимальное решение. Подставим в исходное уравнение минимальный $(y)$ и решим исходное уравнение как кубическое относительно переменной $(x)$. Это уравнение будет иметь один положительный и два комплексных корня с отрицательной действительной частью. $x_1=x_1$; $x_2=-\alpha+i\beta$; $x_3=-\alpha-i\beta$. По теореме Виета будем иметь, что $x_1-2\alpha=0$. Сделаем замену переменных $x\to x+\alpha$. Получим уравнение:
$x^3+3x^2\alpha+(3\alpha^2+1)x+(\alpha^3+\alpha-7y^2)=0$
Это уравнение в результате имеет симметричные корни. Следовательно, по теореме Орландо в уравнении $y^3+ay^2+by+c=0$ $c=ab$. Т.е.:
$3\alpha(3\alpha^2+1)=\alpha^3+\alpha-7y^2$
$8\alpha^3+2\alpha+7y^2=0$
$(2\alpha)^3+(2\alpha)+7y^2=0$
$t^3+t+7y^2=0$
Последнее уравнение, учитывая дискриминант, имеет один действительный корень. С учётом количества перемен знака этот корень отрицателен. Т.е. $t<0$, значит $2\alpha<0$. Но $2\alpha=x_1>0$. Получили противоречие. Следовательно не существует в исходном уравнении минимального натурального решения.

Прошу проверить решение.

[Shadow]

TR63 в сообщении #994198 писал(а):

$x_1-2\alpha=0$. Сделаем замену переменных $x\to x+\alpha$. Получим уравнение:
$x^3+3x^2\alpha+(3\alpha^2+1)x+(\alpha^3+\alpha-7y^2)=0$
Это уравнение в результате имеет симметричные корни. Следовательно, по теореме Орландо в уравнении $y^3+ay^2+by+c=0$ $c=ab$. Т.е.:
$3\alpha(3\alpha^2+1)=\alpha^3+\alpha-7y^2$

Что-то запутались с знаками. Было бы истина, если сделали замену $x\to x-\alpha$. Если $\alpha$ положительное, то $3\alpha$ положительное, $(3\alpha^2+1)$ тоже, a $(\alpha^3+\alpha-7y^2)$ - отрицательное (т.к $\alpha<x_1,\;x_1^3+x_1-7y^2=0$) и сами понимаете, равенство:
$3\alpha(3\alpha^2+1)=\alpha^3+\alpha-7y^2$ невезможно.

Если бы сделали все правильно, пришли бы к исходному уравнению (только с $2\alpha$ вместо $x$) и иначе быть не может.

На самом деле все просто $x(x^2+1)=7y^2$

$x^2+1$ на $7$ не делится и следовательно должно быть квадратом...

[Deggial]

TR63 в сообщении #994198 писал(а):

Сделаем замену переменных $x\to x+\alpha$. Получим уравнение:
...
Это уравнение в результате имеет симметричные корни. Следовательно, по теореме Орландо...

Я пока просто замечу, что высказывание "корни симметричны" бессмысленно. Осмысленно высказывание "корни симметричны относительно $Ox$", однако тогда и до замены переменных корни симметричны.

[TR63]

Shadow, я делаю замену переменных так, чтобы в результате получилось уравнение с симметричными корнями, а не исходное уравнение. Исходное уравнение при фиксированном $(y)$ симметричных корней не имеет по теореме Стодолы. Такая замена возможна по предположению о существовании минимального решения. При моей замене все корни смещаются на величину $\alpha$. В результате получаем два мнимых комплексносопряжённых корня. Т.е. два симметричных корня. И можем применить теорему Орландо. Но

Shadow в сообщении #994258 писал(а):

)
$3\alpha(3\alpha^2+1)=\alpha^3+\alpha-7y^2$ невозможно

, а должно выполняться. Противоречие. Но, возможно, я, действительно, напутала с знаками. Какой у Вас ответ. (Я ещё не думала над другим решением, сразу не соображу). Меня интересуют возможности этой идеи. Иногда она срабатывает. Некоторые считают это бредом, а некоторые в Вике разместили. Отсюда мои сомнения.

-- 23.03.2015, 00:01 --

Deggial в сообщении #994285 писал(а):

высказывание "корни симметричны" бессмысленно. Осмысленно высказывание "корни симметричны относительно $Ox$", однако тогда и до замены переменных корни симметричны.

Симметричными я называю корни, сумма которых равна нулю. До замены переменных при фиксированном $(y)$ симметричных корней не может быть по теореме Стодолы. (Не забывайте про область определения исходной задачи.)

[Shadow]

TR63, вот уравнение, кубическое, $x^3+x-10=0$ С корнями $2,-1+ 2i,-1-2i$
Объясните что делаете, какую замену делате и какие у вас требования к коэффициентам нового уравнения.

-- 22.03.2015, 23:21 --

TR63 в сообщении #994295 писал(а):

Симметричными я называю корни, сумма которых равна нулю

А я все меньше и меньше начинаю вас понимать

[Deggial]

TR63 в сообщении #994295 писал(а):

Симметричными я называю корни, сумма которых равна нулю.

Значит это нестандартный термин. А любое нестандартное определение следует писать в исходном посте, иначе как Вас поймут? Отвечать в теме на этот вопрос не надо.

[Shadow]

Аааа, понял. Сумма не всех трех, а некоторых двух из них. Тоесть, если функция имеет вид $f(x)=(x+a)(x^2+b)$
И тога действительно, Орландо правильно сказал.
Но Вы неправильную замену сделали.

[TR63]

Исправление опечатки:

TR63 в сообщении #994295 писал(а):

До замены переменных при фиксированном $(y)$ симметричных корней не может быть по теореме Орландо
.

Shadow в сообщении #994379 писал(а):

Но Вы неправильную замену сделали.

Shadow, Вы считаете, что правильной заменой для получения симмтричных корней будет, предложенная Вами, т.е.

Shadow в сообщении #994258 писал(а):

Было бы истина, если сделали замену $x\to x-\alpha$.

.
Я это правильно поняла? (В знаках я, действительно, путаюсь; проверяю на примере и потом забываю, как правильно.) Допустим, что правилен Ваш вариант. Тогда получим уравнение:
$(2\alpha)^3+(2\alpha)-7(y)=0$.

И никакого противоречия. Но иногда метод срабатывает и удаётся получить противоречие. Гавное, правильно сделать замену переменных. (Об этом я и спрашивала, Deggial, в недавней теме, но забудем об этом .)
Хочу разместить этот метод для решения некоторого класса диофантовых кубических уравнений третьей степени в дискуссионном разделе или, Deggial, разумнее это продолжить здесь?

[Deggial]

TR63 в сообщении #994393 писал(а):

Хочу разместить этот метод для решения некоторого класса диофантовых кубических уравнений третьей степени в дискуссионном разделе или, Deggial, разумнее это продолжить здесь?

Как угодно.
Но имейте ввиду, что в дискуссионном разделе я буду с Вас требовать нормальные формулировки.
А в ПРР Вы вольны написать плохо сформулированный текст, только его смысла с Вас будут требовать другие участники, если, конечно, им это будет интересно.
Ваша степень способности к формулировкам известна.

[TR63]

Shadow, насчёт замены Вы правы. На этот вопрос можете не отвечать. Предлагаю посмотреть и проверить применение этого метода для одной, как говорят, простенькой задачи. (Она в теме: "Когда дробь целое число". Олимпиадный раздел.)