2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение04.11.2008, 16:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Вот посмотрите еще
Leszczyński, B.
The equation $n\sp{x}+(n+1)\sp{y}=(n+2)\sp{z}$. (Polish)
Wiadom. Mat. (2) 3 1959 37--39 (1959).
доказательство элементарное

 Профиль  
                  
 
 Ссылка на ссылку
Сообщение05.11.2008, 08:58 


24/05/05
278
МО
shwedka писал(а):
в более поздней книжке Рибенбойма, 2000 года
которую можно взять, например, на
http://ifolder.ru/8871683
есть большой раздел, этой теме посвященный.


Отчего такая конспирация? Эта книга имеется во всех библиотеках с серьезным (более-менее) математическим разделом.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.11.2008, 09:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
вот и хорошо! А я спорю??? А так даже в библиотеку не нужно идти

Ну, тут я лопухнулась, не туда дернулась мышка и вместо книги я послала на файлохранилище ссылку на нее. а так я имела в виду именно книгу для тех, кто по незнанию или другой причине в сетевые библиотеки не ходит.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.11.2008, 11:51 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Sonic86 писал(а):
Блин, почему же случай $p=2,q=3$ такой сложный?!
Попробовал сам решить.
Если $y^3=x^2-1$,

Это кривулька Морделла для $k=1$ - см. http://tnt.math.metro-u.ac.jp/simath/MORDELL/

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.11.2008, 00:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Можно попытаться без Морделла.
$y^3=(x-1)(x+1)$
если $x$ - четно, то имеем $x-1=a^3,x+1=b^3\to b^3-a^3=2$ - невозможно.
Пусть $x=2m+1$, тогда $y^3=4m(m+1)$
1. $m$ - четно, то $4m=a^3,m+1=b^3\to 4b^3-a^3=4\to b^3-2x^3=1$
2. $m$ - нечетно, то $4(m+1)=a^3,m=b^3\to 4b^3+4=a^3\to 2x^3-b^3=1$
Для первого случая имеем $2x^3=b^3-1\to 2(x^3+1)=(b^3+1)$
Для второго случая имеем $2x^3=b^3+1\to 2(x^3-1)=(b^3-1)$
Таким образом, нам нужно доказать невозможность двух случаев:
$\frac{b^3+1}{x^3+1}=2$ и $\frac{b^3-1}{x^3-1}=2$
Пусть $\frac{b^3-1}{x^3-1}=2$, тогда $b=x+w$,
$\frac{x^3+3x^2w+3xw^2+w^3-1}{x^3-1}=2$
после преобразований имеем
$\frac{3x^2}{w^2}+\frac{3x}{w}+1=\frac{x^3}{w^3}-\frac{1}{w^3}$, пусть $z=\frac{x}{w}$, тогда имеем
$z^3-3z^2-3z-1-\frac{1}{w^3}=0$
Далее, если верить Maxima, то получается один действительный корень:
обозначим $s=\left(\frac{\sqrt{4w^6+12w^3+1}}{2w^3}+\frac{6w^3+1}{2w^3}\right )^{\frac{1}{3}}$
$z=1+s+\frac{2}{s}$
Здесь уже помогает квадратичный решатель http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM , который показывает, что подходящих решений для $4w^6+12w^3+1=u^2$ нет.
Совершенно аналогично поступаем со случаем $\frac{b^3+1}{x^3+1}=2$.Там тоже решений не будет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.11.2008, 01:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
juna в сообщении #156495 писал(а):
$s=\left(\frac{\sqrt{4w^6+12w^3+1}}{2w^3}+\frac{6w^3+1}{2w^3}\right )^{\frac{1}{3}}$

Понимаете, Вы молчаливо предположили, что рациональность $z$ влечет рацииональность $s $, соответственно, квадратный корень обязан извлечься нацело, но этого не доказали.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.11.2008, 10:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
shwedka писал(а):
Понимаете, Вы молчаливо предположили, что рациональность $z$ влечет рацииональность $s $, соответственно, квадратный корень обязан извлечься нацело, но этого не доказали.

Да, вы правы. Лучше доказывать, что
$w\left (1+\left(\frac{\sqrt{4w^6+12w^3+1}}{2w^3}+\frac{6w^3+1}{2w^3}\right )^{\frac{1}{3}}+\frac 2 {\left(\frac{\sqrt{4w^6+12w^3+1}}{2w^3}+\frac{6w^3+1}{2w^3}\right )^{\frac{1}{3}}}\right )$
не может быть целым при целых $w$.
Но на доказательство этого факта как-то желание не возникает. Уж больно страшные выражения.

 Профиль  
                  
 
 Re: О гипотезе Каталана
Сообщение22.03.2015, 16:57 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Последующие посты TR63, не имеющие особого отношения к теме, отделены в Пургаторий

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group