Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга

[germ9c]

Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга, такую что
$U|R=1 =\sin^6 \varphi + \cos^6 \varphi$
Мое решение:
упростим $\sin^6 \varphi + \cos^6 \varphi =...= \frac{5+3\cos 4\varphi }{8}$
Решение внутренней задачи Дирихле ищем в виде ряда
$U(r,\varphi )= C +\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{r^n}{R^n}(A_n \cos n\varphi +B_n \sin n\varphi)$
где $A_n =\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{5+3\cos 4\psi }{8} \cos n\psi d\psi$
$C=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{5+3\cos 4\psi }{8}d\psi$

$B_n =\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{5+3\cos 4\psi }{8} \sin n\psi d\psi$
Получим $C= \frac{5}{8}$

$A_n =\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{5+3\cos 4\psi }{8} \cos n\psi d\psi =\frac{1}{\pi}(\left. \frac{5}{8n} \sin n\psi \right|_{-\pi}^{\pi} + \frac{3}{8}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos 4\psi \cos n\psi d\psi) = \frac{3}{8\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}(\cos (4-n)\psi +\cos (4+n)\psi) d\psi = \left. \frac{3}{16\pi}(\frac{1}{4-n}\sin (4-n)\psi + \frac{1}{4+n}\sin (4+n)\psi) \right|_{-\pi}^{\pi}$
$B_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{5+3\cos 4\psi }{8} \sin n\psi d\psi=\frac{1}{\pi}\left.(-\frac{5}{8n}\cos n\psi \right|_{-\pi}^{\pi} +\frac{3}{8}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}(\sin (4-n)\psi + \sin (4+n)\psi)d\psi) = \left.\frac{3}{16\pi}(\frac{1}{4-n}(-\cos (4-n)\psi) -\frac{1}{4+n}(\cos (4+n)\psi)) \right|_{-\pi}^{\pi}$
дальше как решить это задание?
нужно рассматривать все случаи для n, но или я где-то ошибся, получается все $A_1...A_n =0$, $B_1...B_n=0$

[Brukvalub]

1. Лучше бы вам поправить свою запись, а то пока она смотрится нелепо (синусы и косинусы а разложении не видны).
2. Граничное условие уже является суммой простейших гармоник, зачем его заново раскладывать, если вы верите в единственность разложения функции в ряд Фурье?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

В частности, из-за некорректного набора потеряны все тригонометрические функции в коэффициентах Фурье.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ИСН]

Бегу предшествует ходьба, многомерным диффурам - простые ряды. germ9c, разложите, пожалуйста, в обычный ряд Фурье по синусам и косинусам такую вот функцию: $f=\cos3x$.

-- менее минуты назад --

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #993960 писал(а):

Граничное условие уже является суммой простейших гармоник, зачем его заново раскладывать

"Старшина велел". Это повторяющийся феномен, я много раз замечал.

[svv]

germ9c
Хоть Вы делаете то, что не нужно, на вопрос об ошибке отвечу. Интеграл от $\cos(n-4)\psi$ — это да, синус, за исключением случая $n=4$.