радиоактивный процесс и распределение Пуассона

[hxxxrz]

Дано макроскопическое количество радиоактивного вещества, даны интервалы времени во много раз меньше периода полураспада.
Количество распадов за время $t$ зависит только от длины интервала, а не от его положения.

${p_k}(t)$ - вероятность $k$ распадов за время $t$

${p_k}\left( t \right) = 1 - \lambda t + o\left( t \right)$ при $k = 0$ , $t \to 0$

${p_k}\left( t \right) = \lambda t + o\left( t \right)$ при $k = 1$ , $t \to 0$

${p_k}\left( t \right) = o\left( t \right)$ при $k > 1$ , $t \to 0$

Расписывая ${p_k}\left( {t + \Delta t} \right)$ , находят:

$\frac{{d{p_k}}}{{dt}} = - \lambda {p_k}\left( t \right) + \lambda {p_{k - 1}}\left( t \right)$

${p_0} = {e^{ - \lambda t}}$

Далее пишут ${p_k} = {e^{ - \lambda t}}{q_k} = - \lambda {e^{ - \lambda t}}{q_k} + \lambda {e^{ - \lambda t}}{q_{k - 1}}$

Какой смысл последней записи и что может означать ${q_k}$?

Нужно получить распределение Пуассона для ${p_k}(t)$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihiv]

hxxxrz в сообщении #993760 писал(а):

Далее пишут ${p_k} = {e^{ - \lambda t}}{q_k}, \dfrac {dp_k}{dt}= - \lambda {e^{ - \lambda t}}{q_k} + \lambda {e^{ - \lambda t}}{q_{k - 1}}$
Какой смысл последней записи

Просто ищут $p_k(t)$ в таком виде. Для новой неизвестной функции $q_k(t)$ получается более простое уравнение. Так, например, $\dfrac {dq_1}{dt}=\lambda q_0$, а $q_0=1$.