Расстояние между окружностями

[svv]

Usgl в сообщении #993700 писал(а):

даны 50 чисел

Ну ёлы, вроде ж уже договорились, что достаточно двух векторов для окружности.

[Usgl]

svv в сообщении #993712 писал(а):

Хинт: минимум разности единичных векторов $\mathbf r_1$ и $\mathbf r_2$ — это максимум их скалярного произведения.

А как это поможет?

-- 21.03.2015, 19:41 --

svv в сообщении #993715 писал(а):

Usgl в сообщении #993700 писал(а):

даны 50 чисел

Ну ёлы, вроде ж уже договорились, что достаточно двух векторов для окружности.

Достаточно, вроде бы, но пока численного метода нет, и уверенности в этом нет:)
Неужели можно зная два вектора однозначно найти три другие? Не уверен! А они нужны, чтобы понять как расположена плоскость окружности в пятимерном пространстве, а от этого зависит как именно к ней расположена другая окружность в этом же простраснтве.

[svv]

Так. Давайте сначала про «численный метод», как Вы его называете.
Немного изменим обозначения. Теперь индекс 1 относится к первой окружности, 2 ко второй:
$\mathbf r_1(t_1)=\mathbf a_1\cos t_1+\mathbf b_1\sin t_1$
$\mathbf r_2(t_2)=\mathbf a_2\cos t_2+\mathbf b_2\sin t_2$
Нам нужно найти максимум $(\mathbf r_1, \mathbf r_2)$. Если экстремум существует, то в нём
$\frac {\partial}{{\partial}t_1}(\mathbf r_1(t_1), \mathbf r_2(t_2))=(\frac {d\mathbf r_1}{dt_1}, \mathbf r_2)=0$
$\frac {\partial}{{\partial}t_2}(\mathbf r_1(t_1), \mathbf r_2(t_2))=(\mathbf r_1, \frac{d\mathbf r_2}{dt_2})=0$
То есть
$(-\mathbf a_1\sin t_1+\mathbf b_1\cos t_1,\;\;\;\; \mathbf a_2\cos t_2+\mathbf b_2\sin t_2)=0$
$(\;\;\;\mathbf a_1\cos t_1+\mathbf b_1\sin t_1,\; -\mathbf a_2\sin t_2+\mathbf b_2\cos t_2)=0$
Два уравнения для двух неизвестных.
Хорошо?

-- Сб мар 21, 2015 19:18:05 --

svv в сообщении #993738 писал(а):

Неужели можно зная два вектора однозначно найти три другие? Не уверен!

Как Вы можете быть «не уверены», когда я прямо сказал, что это невозможно? Вот:

svv в сообщении #993619 писал(а):

Но базис в дополнении можно выбирать по-разному

С другой стороны, это ничему не мешает. Ортогональное дополнение одно и то же, как в нём ни выбирай базис, и полностью определяется теми двумя векторами по определению: это множество всех векторов, которые ортогональны тем двум.

[Usgl]

svv в сообщении #993738 писал(а):

Так. Давайте сначала про «численный метод», как Вы его называете.
Немного изменим обозначения. Теперь индекс 1 относится к первой окружности, 2 ко второй:
$\mathbf r_1(t_1)=\mathbf a_1\cos t_1+\mathbf b_1\sin t_1$
$\mathbf r_2(t_2)=\mathbf a_2\cos t_2+\mathbf b_2\sin t_2$
Нам нужно найти максимум $(\mathbf r_1, \mathbf r_2)$. Если экстремум существует, то в нём
$\frac d{dt_1}(\mathbf r_1(t_1), \mathbf r_2(t_2))=(\frac {d\mathbf r_1}{dt_1}, \mathbf r_2)=0$
$\frac d{dt_2}(\mathbf r_1(t_1), \mathbf r_2(t_2))=(\mathbf r_1, \frac{d\mathbf r_2}{dt_2})=0$
То есть
$(-\mathbf a_1\sin t_1+\mathbf b_1\cos t_1,\;\;\;\; \mathbf a_2\cos t_2+\mathbf b_2\sin t_2)=0$
$(\;\;\;\mathbf a_1\cos t_1+\mathbf b_1\sin t_1,\; -\mathbf a_2\sin t_2+\mathbf b_2\cos t_2)=0$
Два уравнения для двух неизвестных.
Хорошо?

-- Сб мар 21, 2015 19:18:05 --

svv в сообщении #993738 писал(а):

Неужели можно зная два вектора однозначно найти три другие? Не уверен!

Как Вы можете быть «не уверены», когда я прямо сказал, что это невозможно? Вот:

svv в сообщении #993619 писал(а):

Но базис в дополнении можно выбирать по-разному

С другой стороны, это ничему не мешает. Ортогональное дополнение одно и то же, как в нём ни выбирай базис, и полностью определяется теми двумя векторами по определению: это множество всех векторов, которые ортогональны тем двум.

Не совсем понимаю, экстремум функции у вас это что? Общая точка (точка пересечения) двух окружностей?

[svv]

Мы хотим найти такие $\mathbf r_1$ и $\mathbf r_2$ (лежащие на окружностях), что $|\mathbf r_1-\mathbf r_2|$ достигает минимума.Соответственно $(\mathbf r_1, \mathbf r_2)$ достигает максимума, потому что
$(\mathbf r_1-\mathbf r_2)^2=(\mathbf r_1)^2+(\mathbf r_2)^2-2(\mathbf r_1,\mathbf r_2)=1+1-2(\mathbf r_1,\mathbf r_2)$

Но вектор $\mathbf r_1$ зависит от одного параметра $t_1$, меняя который от $0$ до $2\pi$, мы заставляем его описывать окружность. А вектор $\mathbf r_2$ тоже зависит от своего параметра $t_2$. Получается, что скалярное произведение — функция двух независимых переменных:
$(\mathbf r_1(t_1), \mathbf r_2(t_2))=f(t_1, t_2)$,
В точках абсолютного экстремума функции $f$ её частные производные обращаются в нуль:
$\frac{\partial f(t_1, t_2)}{\partial t_1}=0$
$\frac{\partial f(t_1, t_2)}{\partial t_2}=0$
Из этих условий я и получил те уравнения, что в предыдущем сообщении.

[Geen]

Usgl в сообщении #993714 писал(а):

ewert в сообщении #993702 писал(а):

Usgl в сообщении #993498 писал(а):

матрицы окружностей

У окружностей не бывает матриц. Так что всё безнадёжно с самого начала.

Вращение ортонормированного базиса дает окружность! Ну включите фантазию:)

Поворот базиса даёт "новый базис" - Вам стоит выключить фантазию.

Usgl в сообщении #993700 писал(а):

даны 50 чисел

Что именно Вам дано???

[ИСН]

Вам же ясно сказали: 50 чисел. 2 матрицы, каждая 5 на 5. Включите фантазию, ну

[Geen]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #993772 писал(а):

Вам же ясно сказали: 50 чисел. 2 матрицы, каждая 5 на 5. Включите фантазию, ну

Ну может их тогда просто перемножить - будет одно число?

[ИСН]

(Оффтоп)

Тоже вариант, не хуже других