Расстояние между окружностями

[Usgl]

Очень прошу вашей помощи.

Две окружности заданы матрицами повернутого единичного ортонормированного базиса пятимерного пространства (5х5), где один из этих пяти векторов задает точку на окружности, а второй направляющую (если вращать базис вокруг этого вектора). Как найти минимальное расстояние между двумя окружностями заданными таким способом? Какие расчета надо сделать с этими двумя матрицами 5х5 ?

P.s. Начало координат совпадает с центром окружностей, матрицы окружностей это по сути повернутый единичный базис самого пространства. Понятно что для двухмерного базиса окружности совпадут, для трехмерного всегда пересекутся в двух точках, для четырехмерного случая вроде бы будут иметь два одинаковых минимальных расстояния, для пятимерного случая не могу понять свойства...

[svv]

Тут не всё понятно, давайте уточним.

Usgl в сообщении #993498 писал(а):

Две окружности заданы матрицами повернутого единичного ортонормированного базиса пятимерного пространства (5х5), где один из этих пяти векторов задает точку на окружности, а второй направляющую.

Может быть, Вы просто хотели сказать: возьмем два вектора? Если Вы настаиваете на базисе, уточните роль каждого из базисных векторов.

Если Вы хотите построить две разных окружности, нужно ли сначала базис повернуть так, а потом эдак? В этом случае лучше не говорить о базисе вообще.

Usgl в сообщении #993498 писал(а):

если вращать базис вокруг этого вектора

Вокруг вектора (или прямой) можно вращать в трехмерном пространстве и только в нём. В $\mathbb R^4$ вращение уже не вокруг оси, а вокруг двумерной плоскости. В $\mathbb R^5$ — вокруг трехмерной и т.д. Чем больше $n$, тем лучше задавать не $n-2$-мерную плоскость, вокруг которой происходит вращение, а 2-мерную плоскость, проходящую через начало координат, в которой происходит вращение (вокруг начала координат) точки, описывающей окружность.

Usgl в сообщении #993498 писал(а):

Понятно что для двухмерного базиса окружности совпадут, для трехмерного всегда пересекутся в двух точках, для четырехмерного случая вроде бы будут иметь два одинаковых минимальных расстояния, для пятимерного случая не могу понять свойства...

Тут вроде бы рассматриваются просто различные единичные окружности с центром в начале координат. Те случаи, которые Вы описали, понятны. Да, в $\mathbb R^4$ впервые возможны непересекающиеся единичные окружности с общим центром, например,
$x_1^2+x_2^2=1, \quad x_3=x_4=0$
и
$x_3^2+x_4^2=1, \quad x_1=x_2=0$.

[Usgl]

svv в сообщении #993593 писал(а):

Тут не всё понятно, давайте уточним.

Usgl в сообщении #993498 писал(а):

Две окружности заданы матрицами повернутого единичного ортонормированного базиса пятимерного пространства (5х5), где один из этих пяти векторов задает точку на окружности, а второй направляющую.

Может быть, Вы просто хотели сказать: возьмем два вектора? Если Вы настаиваете на базисе, уточните роль каждого из базисных векторов.

Если Вы хотите построить две разных окружности, нужно ли сначала базис повернуть так, а потом эдак? В этом случае лучше не говорить о базисе вообще.

Usgl в сообщении #993498 писал(а):

если вращать базис вокруг этого вектора

Вокруг вектора (или прямой) можно вращать в трехмерном пространстве и только в нём. В $\mathbb R^4$ вращение уже не вокруг оси, а вокруг двумерной плоскости. В $\mathbb R^5$ — вокруг трехмерной и т.д. Чем больше $n$, тем лучше задавать не $n-2$-мерную плоскость, вокруг которой происходит вращение, а 2-мерную плоскость, проходящую через начало координат, в которой происходит вращение (вокруг начала координат) точки, описывающей окружность.

Usgl в сообщении#993498 писал(а):

Понятно что для двухмерного базиса окружности совпадут, для трехмерного всегда пересекутся в двух точках, для четырехмерного случая вроде бы будут иметь два одинаковых минимальных расстояния, для пятимерного случая не могу понять свойства...

Тут вроде бы рассматриваются просто различные единичные окружности с центром в начале координат. Те случаи, которые Вы описали, понятны. Да, в $\mathbb R^4$ впервые возможны непересекающиеся единичные окружности с общим центром, например,
$x_1^2+x_2^2=1, \quad x_3=x_4=0$
и
$x_3^2+x_4^2=1, \quad x_1=x_2=0$.

В пятимерном случае, я конечно имел ввиду поворот не вокруг одной оси, как в трехмерном случае, а поворот вокруг трехмерного пространства, где три ортогональных вектора из пяти остаются неизменными, и задают базис пространства вокруг которого и происходит вращение, образующее заданную окружность, поэтому окружности и задаются пятью векторами, где три вектора задают пространство перпендикулярное плоскости окружности, а два других вектора образуют окружность как и в трехмерном случае. Кроме того, нужно показать какие из компонент матрицы 5х5 необходимы, а какие нет, для расчета расстояния между окружностями.

[svv]

Допустим, у Вас есть два вектора $\mathbf a_1$ и $\mathbf a_2$. Они единичны и ортогональны друг другу. Тогда они задают окружность:
$\mathbf r(t)=\mathbf a_1\cos t+\mathbf a_2\sin t$
Больше ничего не нужно.

Вы можете натянуть на $\mathbf a_1, \mathbf a_2$ двумерное пространство и потом построить к нему $n-2$-мерное ортогональное дополнение. Но базис в дополнении можно выбирать по-разному, и это ничему не мешает. Более того, всё это можно и не делать: окружность и так прекрасно задана.

Теперь поясните, как задать вторую окружность? Должна ли она лежать в том ортогональном дополнении, или базис берется совсем другой?

[Usgl]

svv в сообщении #993619 писал(а):

Допустим, у Вас есть два вектора $\mathbf a_1$ и $\mathbf a_2$. Они единичны и ортогональны друг другу. Тогда они задают окружность:
$\mathbf r(t)=\mathbf a_1\cos t+\mathbf a_2\sin t$
Больше ничего не нужно.

Вы можете натянуть на $\mathbf a_1, \mathbf a_2$ двумерное пространство и потом построить к нему $n-2$-мерное ортогональное дополнение. Но базис в дополнении можно выбирать по-разному, и это ничему не мешает. Более того, всё это можно и не делать: окружность и так прекрасно задана.

Теперь поясните, как задать вторую окружность? Должна ли она лежать в том ортогональном дополнении, или базис берется совсем другой?

Это понятно. Базис самого пятимерного пространства это единичная матрица 5х5. Все окружности находятся в этом пятимерном пространстве и задаются подобной матрицей, хотя я понимаю что возможно достаточно только двух векторов 5х2. Но что делать дальше, как вычислить расстояние между окружностями в таком пространстве?

-- 21.03.2015, 16:55 --

У всех окружностей, центр общий, но они могут не пересекаться в пятимерном пространстве (не иметь общих точек), как вы правильно заметили, значит можно найти минимальное расстояние между ними... Только вот как...

[ИСН]

А в четырёхмерном как Вы это сделали? Откуда знаете, что там два одинаковых минимальных расстояния?

[svv]

Допустим, вторая окружность задаётся аналогично с помощью единичных и ортогональных друг другу векторов $\mathbf b_1, \mathbf b_2$:
$\mathbf r(t)=\mathbf b_1\cos t+\mathbf b_2\sin t$
Возьмём линейную оболочку $\mathbf a_1, \mathbf a_2, \mathbf b_1, \mathbf b_2$, это будет пространство $V$ размерности 4 или меньше. В $V$ лежат обе окружности, и для нахождения расстояния между любыми двумя точками окружностей не имеет никакого значения, лежит ли $V$ в некотором объемлющем пространстве большей размерности, или нет. Иными словами, пяти-, шести- и т.д. -мерные случаи не сложнее, чем четырехмерный.

[Usgl]

ИСН в сообщении #993633 писал(а):

А в четырёхмерном как Вы это сделали? Откуда знаете, что там два одинаковых минимальных расстояния?

Я не знаю, это было мое скромное предположение:)

-- 21.03.2015, 17:11 --

svv в сообщении #993637 писал(а):

Допустим, вторая окружность задаётся аналогично с помощью единичных и ортогональных друг другу векторов $\mathbf b_1, \mathbf b_2$:
$\mathbf r(t)=\mathbf b_1\cos t+\mathbf b_2\sin t$
Прежде всего, заметьте, что теперь я могу взять линейную оболочку $\mathbf a_1, \mathbf a_2, \mathbf b_1, \mathbf b_2$, это будет пространство $V$ размерности 4 или меньше. В $V$ лежат обе окружности, и для нахождения расстояния между любыми двумя точками окружностей не имеет никакого значения, лежит ли $V$ в некотором объемлющем пространстве большей размерности, или нет. Иными словами, пяти-, шести- и т.д. -мерные случаи не сложнее, чем четырехмерный.

Расстояние между двумя точками найти просто. Надо найти минимальное расстояние между окружностями. А уж между какими именно точками на этих окружностях будет мин. расстояние не известно.

Кроме того, нельзя же задать окружность в пятимерном пространстве с помощью двух параметров. по условию задачи окружности задаются матрицами 5х5, а уж какие из этих параметров нужны для расчета расстояния надо выяснить:) я думаю что из матрицы придется использовать мин. по 10 чисел из 25. Но я не уверен.

[svv]

Usgl в сообщении #993640 писал(а):

Расстояние между двумя точками найти просто. Надо найти минимальное расстояние между окружностями. А уж между какими именно точками будет мин. расстояние не известно.

Экстремум функции двух переменных (параметров в тех параметрических уравнениях, что я написал). Это в общем случае. В частных его может и не быть.

[Usgl]

svv в сообщении #993647 писал(а):

Usgl в сообщении #993640 писал(а):

Расстояние между двумя точками найти просто. Надо найти минимальное расстояние между окружностями. А уж между какими именно точками будет мин. расстояние не известно.

Экстремум функции двух переменных (параметров в тех параметрических уравнениях, что я написал). Это в общем случае. В частных его может и не быть.

Понятно что мин. расстояние это экстремумы функции, численный метод бы найти:)

[ИСН]

А зачем численный, если можно точно?

[Usgl]

ИСН в сообщении #993683 писал(а):

А зачем численный, если можно точно?

Так надо рассчитать расстояние между окружностями, даны 50 чисел, надо найти одно. Что с ними сделать, чтобы его получить и есть численный метод.

[ewert]

Usgl в сообщении #993498 писал(а):

матрицы окружностей

У окружностей не бывает матриц. Так что всё безнадёжно с самого начала.

[svv]

Хинт: минимум модуля разности единичных векторов $\mathbf r_1$ и $\mathbf r_2$ — это максимум их скалярного произведения.

[Usgl]

ewert в сообщении #993702 писал(а):

Usgl в сообщении #993498 писал(а):

матрицы окружностей

У окружностей не бывает матриц. Так что всё безнадёжно с самого начала.

Вращение ортонормированного базиса дает окружность! Ну включите фантазию:)