Структура борелевской сигма-алгебры канонической топологии

[Anton_Peplov]

Напомню, что борелевской $\sigma$-алгеброй называется минимальная $\sigma$-алгебра над топологией. Возьмем каноническую топологию прямой и построим над ней борелевскую $\sigma$-алгебру.
Назовем базой $\sigma$-алгебры $\Sigma$ такую систему множеств $B$, что всякий элемент $\Sigma$ может быть представлен как объединение счетного числа элементов $B$. Счетность самой базы при этом не требуется, да она и не возможна. Понятно, что у каждой $\sigma$-алгебры есть как минимум одна база - сама $\sigma$-алгебра. Но нас интересуют, естественно, более экономные базы.

Попытаемся построить базу борелевской $\sigma$-алгебры ("над канонической топологией прямой" я буду для краткости опускать). В нее заведомо входят:

1. Все промежутки вида $(a, b)$, $(a, b]$, $[a, b)$, $[a, b]$.
2. Пустое множество (в общем, его можно рассматривать как $(a, a)$, но для ясности выделим в отдельный пункт).
3. Одноточечные множества $\{a\}$ (это, опять-таки, $[a, a]$, но опять же, для ясности).
4. Все множества, которые могут быть получены из вышеперечисленных вычитанием счетного числа точек. Таково, например, множество всех иррациональных чисел отрезка $[0, 1]$.

Спрашивается:
Является ли система множеств, описанная пп. 1-4, базой борелевской $\sigma$-алгебры? Если да, то как это доказать? Если нет, то - а) пример борелевского множества, не порождаемого этой системой и б)какие множества надо добавить к ней, чтобы она таки стала базой борелевской $\sigma$-алгебры? Естественно, интересны базы, которые экономнее самой $\sigma$-алгебры.

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #991950 писал(а):

а) пример борелевского множества, не порождаемого этой системой

Канторово множество вы как получите?

Anton_Peplov в сообщении #991950 писал(а):

б)какие множества надо добавить к ней, чтобы она таки стала базой борелевской $\sigma$-алгебры?

Предлагаю добавить счётные пересечения, счётные объединения счётных пересечений, ... (здесь под многоточием подразумевается индукция, в некотором смысле трансфинитная).

-- 18.03.2015, 15:29 --

UPD. Возможность построения счётных объединений у нас уже есть в определении. Поэтому все предложенные мной последовательности построений, у которых в конце счётные объединения, можно убрать. Количество конечных построений уменьшится вдвое. А для счётных, боюсь, это замечание ничего не уменьшит.

[Anton_Peplov]

grizzly в сообщении #991987 писал(а):

Канторово множество вы как получите?

Вот этого я и боялся. Оно борелевское, да - пересечение счетной последовательности борелевских множеств. При этом континуальное, так что объединением счетного числа одноточечных множеств его не получить.

grizzly в сообщении #991987 писал(а):

Предлагаю добавить счётные пересечения, счётные объединения счётных пересечений, ...

Ох. Добавить придется, конечно. Хорошо, если только это. Ну и как потом что-то доказывать для таких громоздких построений? Плакали мои попытки свести борелевскую $\sigma$-алгебру к какой-то обозримой структуре.

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #992011 писал(а):

Хорошо, если только это.

Увы, этого тоже не хватит.

Anton_Peplov в сообщении #992011 писал(а):

Плакали мои попытки свести борелевскую $\sigma$-алгебру к какой-то обозримой структуре.

Это, боюсь, безнадёжная задача.

[Anton_Peplov]

grizzly в сообщении #992028 писал(а):

Это, боюсь, безнадёжная задача.

Попробуем зайти с другой стороны.

Рассмотрим систему $S$ всех промежутков вида $(a, b)$, $[a, b]$ (в т.ч. $\{a\} = [a, a]$), $[a, b)$, $(a, b]$. Борелевское множество, представимое в виде конечного или счетного объединения элементов $S$, назовем нормальным. Все остальные борелевские множества назовем экзотическими.
Назовем экзотическое множество 0-экзотическим, если оно имеет нулевую меру. Например, канторово множество - 0-экзотическое. Назовем экзотическое множество 1-экзотическим, если оно имеет меру некоторого промежутка, в котором оно содержится. Например, множество всех иррациональных чисел отрезка $[0, 1]$ - 1-экзотическое. Дополнение канторова множества до $[0, 1]$ - тоже 1-экзотическое.

Гипотеза: всякое борелевское множество представимо в виде конечного или счетного объединения нормальных, 0-экзотических и 1-экзотических множеств.

Такую гипотезу можно опровергнуть? А если не опровергнуть, то доказать?

[grizzly]

Логичнее было название "нормальные" и "экзотические" поменять местами :)

Anton_Peplov в сообщении #993682 писал(а):

Такую гипотезу можно опровергнуть?

Конечно. Можно опровергнуть любую гипотезу подобного рода.
Вы слышали про канторовы множества положительной меры? Они подойдут в качестве контрпримера к новой гипотезе.

[Anton_Peplov]

grizzly в сообщении #993720 писал(а):

Логичнее было название "нормальные" и "экзотические" поменять местами :)

Давая эти названия, я имел в виду, что нормальные множества - те, с которыми мы обычно встречаемся в приложениях, когда используем аппарат теории меры для формализации длины, массы, вероятности и прочего в том же роде. А экзотические - это такие монстры, с которыми не встретишься, если специально их не искать. Впрочем, дело не в терминологии.

grizzly в сообщении #993720 писал(а):

Вы слышали про канторовы множества положительной меры?

Эх, надо было сразу заглянуть в Гелбаума, "Контрпримеры в анализе". У него есть.

Все, сдаюсь. Никаких идей. Страшная штука эта борелевская алгебра.

[g______d]

Anton_Peplov в сообщении #992011 писал(а):

Плакали мои попытки свести борелевскую $\sigma$-алгебру к какой-то обозримой структуре.

Ну а это -- насколько обозримая?

[Anton_Peplov]

Не обозримее, чем определение "система, замкнутая по не более чем счетным объединениям и пересечениям, а также по дополнениям".
Под "обозримой структурой" я здесь понимал следующее:
1. Явно описаны какие-то типы подмножеств числовой прямой - элементы базы. Например, промежутки, множества, получающиеся выбрасыванием из промежутка множества меры нуль, и т.д.
2. Всякий элемент сигма-алгебры является не более чем счетным объединением элементов базы.
Аналогия - так топология числовой прямой описывается базой открытых отрезков.

Но это, видимо, для борелевской сигма-алгебры это и впрямь безнадежная задача. Замкнутость по счетным пересечениям лишает надежды построить ее из множества явно описанных кубиков.

[m(Ax)]

Тут видимо стоит посмотреть на Борелевскую иерархию.
Напомню определения.

К уровню $ \Sigma^0_1$ относятся все открытые множества.

К уровню $\Pi^0_\alpha$ относятся множества дополнения которых лежат в $\Sigma^0_\alpha$.

К уровню $\Sigma^0_\alpha$ относятся множества которые можно получить счетным объединением множеств принадлежащих $\Pi^0_\beta$ для какого либо $\beta<\alpha$.

В определении $\beta$ и $\alpha$ произвольные ординалы.

Известно, что данная иерархия имеет $\omega_1$ уровней. Где $\omega_1$ первый несчетный ординал.

Условие 2 "Обозримой структуры" приводит к тому, что в качестве элементов базы необходимо брать элементы из каждого уровня иерархии.
В то же время даже низкие уровни могут быть весьма сложными. Так например множество точек разрыва функции может быть только $\Sigma^0_2$ (надеюсь не напутал ).

Таким образом условие 2 противоречит условию 1. " Явно описаны какие-то типы подмножеств числовой прямой - элементы базы. Например, промежутки, множества, получающиеся выбрасыванием из промежутка множества меры нуль, и т.д." все эти множества будут низкого уровня. За исключением случая когда вовлекаются множества меры нуль. Множества меры нуль могу быть вообще не Борелевскими.

P.S. Оказывается выше уже дали ссылку на иерархию

[Anton_Peplov]

m(Ax) в сообщении #1050369 писал(а):

Тут видимо стоит посмотреть на Борелевскую иерархию.

Есть учебник на русском языке, где можно почитать про борелевскую иерархию? Гуглеж ничего толком не выдает (уже восьмая ссылка прямиком на пост m(Ax)).

[g______d]

Anton_Peplov в сообщении #1080791 писал(а):

Есть учебник на русском языке, где можно почитать про борелевскую иерархию? Гуглеж ничего толком не выдает (уже восьмая ссылка прямиком на пост m(Ax)).

http://www.mccme.ru/free-books/kanovej/set_theory.pdf

[Anton_Peplov]

Спасибо!