Напомню, что борелевской
![$\sigma$ $\sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cda31ed38c6d59d14ebefa44009957282.png)
-алгеброй называется минимальная
![$\sigma$ $\sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cda31ed38c6d59d14ebefa44009957282.png)
-алгебра над топологией. Возьмем каноническую топологию прямой и построим над ней борелевскую
![$\sigma$ $\sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cda31ed38c6d59d14ebefa44009957282.png)
-алгебру.
Назовем
базой
-алгебры ![$\Sigma$ $\Sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/3/813cd865c037c89fcdc609b25c465a0582.png)
такую систему множеств
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
, что всякий элемент
![$\Sigma$ $\Sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/3/813cd865c037c89fcdc609b25c465a0582.png)
может быть представлен как объединение
счетного числа элементов
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
. Счетность самой базы при этом не требуется, да она и не возможна. Понятно, что у каждой
![$\sigma$ $\sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cda31ed38c6d59d14ebefa44009957282.png)
-алгебры есть как минимум одна база - сама
![$\sigma$ $\sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cda31ed38c6d59d14ebefa44009957282.png)
-алгебра. Но нас интересуют, естественно, более экономные базы.
Попытаемся построить базу борелевской
![$\sigma$ $\sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cda31ed38c6d59d14ebefa44009957282.png)
-алгебры ("над канонической топологией прямой" я буду для краткости опускать). В нее заведомо входят:
1. Все промежутки вида
![$(a, b)$ $(a, b)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/9/ba933e77b90dc996befbe81f77f4388782.png)
,
![$(a, b]$ $(a, b]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/b/6cb0cd927fc3aaa1fbfd66299b33bf8582.png)
,
![$[a, b)$ $[a, b)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/a/daaa35d995a214d031e692a14957ae6582.png)
,
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
.
2. Пустое множество (в общем, его можно рассматривать как
![$(a, a)$ $(a, a)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/6/676348bf7b4354c0ee235fe875831ce382.png)
, но для ясности выделим в отдельный пункт).
3. Одноточечные множества
![$\{a\}$ $\{a\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/e/c3e2cf59ab52ddb82646528b31dc523a82.png)
(это, опять-таки,
![$[a, a]$ $[a, a]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/1/5613d468b7d973304ebfa5170b47e0c582.png)
, но опять же, для ясности).
4. Все множества, которые могут быть получены из вышеперечисленных вычитанием счетного числа точек. Таково, например, множество всех иррациональных чисел отрезка
![$[0, 1]$ $[0, 1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/8/e88c070a4a52572ef1d5792a341c090082.png)
.
Спрашивается:
Является ли система множеств, описанная пп. 1-4, базой борелевской
![$\sigma$ $\sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cda31ed38c6d59d14ebefa44009957282.png)
-алгебры? Если да, то как это доказать? Если нет, то - а) пример борелевского множества, не порождаемого этой системой и б)какие множества надо добавить к ней, чтобы она таки стала базой борелевской
![$\sigma$ $\sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cda31ed38c6d59d14ebefa44009957282.png)
-алгебры? Естественно, интересны базы, которые экономнее самой
![$\sigma$ $\sigma$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cda31ed38c6d59d14ebefa44009957282.png)
-алгебры.