Структурная группа расслоения

[maximav]

Просветите пожалуйста.

Дано. Классическая СТО. Электродинамика и тензорные поля в касательном расслоении
к пр-ву Минковского. Какова структурная группа $G$ этого касательного расслоения?
$GL(4)$? Что здесь делает тогда группа Лоренца $SO(3,1)$?

Аналогично. Теория Янга-Милса. Там есть, знаю, $SU(2)$. Она "орудует" в слое.
Структурная группа $G$ здесь - это и есть $SU(2)$ или ...? Дубровин-Новиков определяют структурную группу как гомеоморфизмы слоя. Но если слой - это лин. вект. пр-во, то там можно менять базисы по общей $GL$-группе. Что здесь делает тогда $SU(2)$.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[EvilPhysicist]

maximav в сообщении #992517 писал(а):

Какова структурная группа $G$ этого касательного расслоения?
$GL(4)$? Что здесь делает тогда группа Лоренца $SO(3,1)$?

Группа Лоренца и есть структурная группа касательного расслоения. Группа $GL(4)$ -- Global Lineral (transformations in) 4(-dimensional space), то бишь просто все матрицы 4X4. А в пространстве Минковского есть метрика -- послойная симметричная 2-форма $T_x M \times T_x M \to \mathbb R$. Ну и это приводит к тому, что смена координат не должна нам влиять на метрику. То бишь $g(\vec v_1 , \vec v_2)$ не должно зависеть от системы координат. Вот это условие вам и вырежет $SO(1,3)$ из $GL(4)$.

maximav в сообщении #992517 писал(а):

Теория Янга-Милса. Там есть, знаю, $SU(2)$. Она "орудует" в слое.
Структурная группа $G$ здесь - это и есть $SU(2)$ или ...? Дубровин-Новиков определяют структурную группу как гомеоморфизмы слоя. Но если слой - это лин. вект. пр-во, то там можно менять базисы по общей $GL$-группе. Что здесь делает тогда $SU(2)$.

В Янг-Миллсовских теориях рассматривается пространство $M^4\times \vec{\mathbb{C}^2}$, где $M^4$ -- 4-мерное многообразие Минковского, $\vec{\mathbb{C}^2}$ -- 2-мерное комплексное векторное пространство. А дальше все аналогично, пространства $\vec{\mathbb{C}^2}$ делаются симплектическими. Что вырезает нам из всех возможных преобразований $GL(4,\mathbb C)$ симплектическую группу, которая оказывается лежащей в $SU(2)$.

[maximav]

Спасибо, я правильно понял, что структурная группа в слое это всегда группа симметрии/автоморфизмов дополнительной структуры в слое, поскольку слой - лишь "голое и бедное" векторное пр-во? Метрики и всякие другие скаляры надо в слое дополнительно вводить. Электродинамика - это, например, симметрия метрики (Лоренц). Но, как я понимаю, в слое, как в линейном векторном пр-ве по-прежнему можно менять произвольно/криволинейно базисы и соответственно криволинейно менять координаты тензоров?

Но тогда возникает вопрос о конформной группе в той же лоренцевской электродинамике. Ведь Лоренц держит метрику, но ее ломают всякие конформные диллатации и др. Уравнения электродинамики ведь инвариантны относительно и этой группы, но она не есть группа симметрии метрики (Киллинг; структурная группа слоя). Получается, мы имеем 2 структуры и обе "работают" в касательном слое? Как тут понимать?

Попутный вопрос. Лагранжиан электродинамики $F_{\lambda\mu} F^{\lambda\mu} d^4x$ инвариантен относительно Лоренца-Пуанкаре. А относительно конформной группы? Я здесь не пойму момент: $d^4x$ надо понимать как инвариантную меру, 4-форму (т.е. умножать на детерминант при преобразованиях) или просто $d^4x$? Вообще где про конформность электродинамического лагранжиана почитать подробнее. Аналогично - про Янг-Милсовскую конформность.
Заранее спасибо

[EvilPhysicist]

maximav в сообщении #993137 писал(а):

я правильно понял, что структурная группа в слое это всегда группа симметрии/автоморфизмов дополнительной структуры в слое, поскольку слой - лишь "голое и бедное" векторное пр-во?

Не совсем. Во-первых, слой может быть каким угодно многообразием, а не только векторным пространством.
Во-вторых, группа слоя это всегда группа его автоморфизмов (что эквивалентно группе смены координат).

maximav в сообщении #993137 писал(а):

Метрики и всякие другие скаляры надо в слое дополнительно вводить.

Да.

maximav в сообщении #993137 писал(а):

Электродинамика - это, например, симметрия метрики (Лоренц)

Нет. Электродинамика это когда вы берете многообразие Лоренца и работаете с его касательным расслоением.

maximav в сообщении #993137 писал(а):

Но, как я понимаю, в слое, как в линейном векторном пр-ве по-прежнему можно менять произвольно/криволинейно базисы и соответственно криволинейно менять координаты тензоров?

Опять же, поправка. Векторное пространство это многообразие. Но, в данном случае он этом удобно не вспоминать и работать с ним как просто с векторным пространством. Тогда вы будете работать с касательным расслоением $TM$ на котором можно вводить координаты, подчиненные этому расслоению $(x^\mu, v^\mu)$. То есть $(x^\mu, v^\mu)$ это когда вы по пространству Минковского пешком дошли до точки, которая имеет координаты $x^\mu$, а затем еще и выбрали вектор, который в локальном базисе имеет координаты $v^\mu$. Тогда мы можете определять векторное поле как глобальное сечение касательного расслоения (в каждой точке базы расслоения выбирать один элемент из слоя) и с ним уже и работать.

maximav в сообщении #993137 писал(а):

Но тогда возникает вопрос о конформной группе в той же лоренцевской электродинамике.

Воу-воу, уточните про что вы. Про то, что можно делать преобразования координат типа $ds^2 = \Omega^2 (x) d s'^2$?

maximav в сообщении #993137 писал(а):

Попутный вопрос. Лагранжиан электродинамики $F_{\lambda\mu} F^{\lambda\mu} d^4x$ инвариантен относительно Лоренца-Пуанкаре.

Для начала, Лагранжиан электродинамики $F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \sqrt{-g}$. Потом, давайте все-таки различать группу Лоренца и группу Пуанкаре. Группа Лоренца это $SO(1,3)$ и ее "родной дом" -- $\vec{\mathbb{R}^4}$ с определенной метрикой. Группа Пуанкаре это подгруппа диффеоморфизмов многообразия Минковского самого на себя. Так вот, если вы работает с электродинамикой на фоне многообразия Минковского, то там электродинамика инварианта и по группе Лоренца, действующей на касательные пространства( где и живет электромагнитное поле) и по группе Пуанкаре, которая меняет координаты в физическом пространстве. Если же вы работает на другом фоне, то электродинамика уже не будет инвариантна по группе Пуанкаре просто потому что эта инвариантность связана с фоном, а не с самим полем.

maximav в сообщении #993137 писал(а):

Я здесь не пойму момент: $d^4x$ надо понимать как инвариантную меру, 4-форму (т.е. умножать на детерминант при преобразованиях) или просто $d^4x$?

Знаете, я тоже не понимаю как тут понимать $d^4 x$. Если уж совсем строго математически говорить, то $d^4 x $ это просто что-то что физики у себя на форуме пишут, а не какая-то мера. Но, видимо, авторы того, откуда вы взяли эту формулу, имели в виду, что в лагранжиане должен быть вклад "убивающий" якобиан, появляющийся при смене координат.

maximav в сообщении #993137 писал(а):

Вообще где про конформность электродинамического лагранжиана почитать подробнее. Аналогично - про Янг-Милсовскую конформность.

Я вообще не специалист в этой области. Могу порекомендовать пятитомник Сарданашвили, но там просто гранитище науки. Возможно в книгах Рубакова "Классические калибровочные поля" (в двух томах) найдется что-то полезное. Еще, на мой взгляд, хорошая книга Степеньянца "Классическая теория поля", по крайней мере мне помнится, что там что-то было про комформные группы.

[type2b]

Когда есть дополнительная структура -- например, метрика, или эрмитова форма, или антисимметричная форма, или комплексная структура, -- можно редуцировать структурную группу, т.е. ограничиться калибровками, которые эту доп. структуру сохраняют.

Янг-Миллс -- это теория, в которой динамической переменной является связность в векторном расслоении. (Более формально -- в главном расслоении.)
Можно брать любую группу $G$ и рассматривать $G$-значные связности. Например, можно рассмотреть векторное расслоение с эрмитовой формой. В нем естественно ограничиться унитарными калибровками, и рассматривать U$(n)$- (или SU$(n)$-) значные связности, т.е. $A$ -- антиэрмитовы матрицы. При этом никто не мешает сделать GL$(n)$-значное калибровочное преобразование, но это ни за чем не нужно. (После такого преобразования $A$ уже не будет антиэрмитовой, а будет сохранять эрмитову форму, полученную из простой $\delta_{ij}$ этим самым калибровочным преобразованием.) Для физически осмысленных теорий группа, как правило, должна быть компактной.

Лагранжиан Янга-Миллса в кривой метрике выглядит как $\int {\rm d}^{4}x\sqrt{g}g^{\mu\nu}g^{\rho\sigma}{\rm tr}(F_{\mu\rho}F_{\nu\sigma})$. Или более наукообразно: $\int{\rm tr}(F\wedge\star F)$. Он инвариантен относительно конформных преобразований по следующей причине. Во-первых, он инвариантен относительно преобразования Вейля, т.е. перескалирования метрики на произвольную функцию, без преобразования координат. Во-вторых, он инвариантен относительно диффеоморфизмов, т.е. преобразований, которые меняют и координаты, и метрику по тензорному закону. Из этих двух фактов очевидно следует, что он инвариантен относительно конформных преобразований.

[Munin]

Есть книжечка
Белавин А. А. (ред.) Инстантоны, струны и конформная теория поля. Сб. статей. - ФМЛ, 2002.
Надеюсь, она принесёт кому-то пользы больше чем мне :-)

[maximav]

Да-да, я должен был это знать. Смена координат на многообразии имеет эквивалент - смена базиса в касательнои пр-ве. Но тогда, насчет вашего

EvilPhysicist в сообщении #993210 писал(а):

Электродинамика это когда вы берете многообразие Лоренца и работаете с его касательным расслоением.

я бы уточнил... Если отбросить все условности и быть совершенно аккуратным. Вы скорее всего имели ввиду следующее.

Имеем наше 4-пространство $M$. Никаких Минковских и Лоренцев. Хотим - меняем на $M$ как-угодно криволинейно координаты. Строим к $M$ касательное пр-во $TM$. Это набор линейных векторных пр-в (ЛВП). Каждое назовем слоем $F$ (типичный слой). Задаем на нем метрику. $T_pM$ стало "минковским", но еще никаких "лоренцев". Ищем теперь автоморфизмы слоя, не меняющие представление для этой метрики. Искать их надо среди линейных преобразований (иначе слой сломался бы как ЛВП) и они образуют некоторую подгруппу из самой общей $GL(4)$. Назовем ее "$SO(3,1)$-лоренцем" и объявим ее структурной группой слоя $F$. Только тогда мы получаем электродинамику как расслоение со структурной группой $SO(3,1)$. Старая база, как была "голым многообразием", так им и осталась. Я могу в ней, как и прежде менять криво координаты. Слой $F$ тоже остается голым ЛВП, в нем я тоже могу менять как хочу базисы. Структуру метрику я при этом не затрагиваю, кроме разве что смены ее представления в соответствии со сделанной сменой базиса. type2b называет это "калибровками", наверно имея в виду отношение эквивалентности: Киллинги метрики. Я специально написал дотошно-подробно. Скорректируйте, пжлст, если что не так.

EvilPhysicist в сообщении #993210 писал(а):

Группа Пуанкаре это подгруппа диффеоморфизмов многообразия Минковского самого на себя. Так вот, если вы работает с электродинамикой на фоне многообразия Минковского, то там электродинамика инварианта и по группе Лоренца, действующей на касательные пространства( где и живет электромагнитное поле) и по группе Пуанкаре, которая меняет координаты в физическом пространстве. Если же вы работает на другом фоне, то электродинамика уже не будет инвариантна по группе Пуанкаре просто потому что эта инвариантность связана с фоном, а не с самим полем.

Что-то я опять здесь не понял. Тензоры ведь всегда живут в касательном. Я не могу сравнивать тензоры в разных точках многообразия; того $M$, где, Вы сказали, работает Пуанкаре. Даже если я делаю сдвиг Пуанкаре, это все должно быть "телодвижениями" в слое (аффинный слой?). В этом смысле не пойму, какова принципиальная разница между Лоренцем и Пуанкаре?

Далее... Вроде все так, но есть ведь еще всякие диллатации, которые ломают симметрию метрики, но не ломают уравнений Максвелла и не ломают лагранжиан. Можно добавить еще и специальные конформные преобразования (ни в жизнь не догадаешься, обнаружены Бэйтменом лишь в 1915г), которые весьма кривые, но на которые нет никакого смысла смотреть как на плохие или хуже, чем Лоренц-Пуанкаре. Я так понимаю, что связать их с какой-то скалярной сохраняющейся величиной (типа интервала, когда Лоренц вводился) не получится, но это не значит, что их нельзя загнать в структурную группу: обновление Лоренца-Пуанкаре. Что здесь, помимо прочего, не ясно, так то, что простые диллатации - линейно
меняют слой... все Ок, а вот специальные конформные НЕ линейны. Как быть с ними? С точки зрения "линейной" структурной группы. ..?

На счет $F_{\lambda\mu} F^{\lambda\mu} \cdot\sqrt{-g}d^4x$ вы правы. Отсутствие $\sqrt{-g}$ сбивает с толку. Без него не хорошо (интегрировать неинвариантно - это нонсенс). Но по-прежнему, как быть с нелинейными специальными конформными преобразованиями. Они "держат" такой лагранжиан (кстати, нетривиально). А как загонять/обновлять структурную группу?

[Pphantom]

Сообщение maximav отправлено в Карантин («Выделено из topic95044.html»). Приведите в порядок цитирование.

[Pphantom]

Исправьте цитирование и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[type2b]

Сборник Белавина тут совершенно не к месту. Тут нужен базовый учебник по дифгеому для физиков, типа ДНФ.

[maximav]

По поводу ДНФ гляньте пожалуйста topic95044.html

[type2b]

Ваша ссылка ведет на первое сообщение этой темы. Я уже ответил на него выше.

[maximav]

Пардон, опечатка. Я имелл в виду вот это.
topic95048.html

Там есть неясности