Найти область сходимости интеграла

[krodd2]

Требуется найти область сходимости интеграла

$$\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p} \sqrt{\ln{x}}}$$

Т.к. и $1$, и $+\infty$ - особые точки, я разбил интеграл на два интеграла $I_1$ и $I_2$:

$$I_1=\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x^{p} \sqrt{\ln{x}}}$$

$$I_2=\int\limits_{2}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p} \sqrt{\ln{x}}}$$

Далее исследую сходимость каждого интеграла:

1) $I_1=\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x^{p} \sqrt{\ln{x}}}$
По признаку сравнения в предельной форме при $x \to 1$, $\frac{1}{x^{p} \sqrt{\ln{x}}} \sim \frac{1}{(x-1)^{\frac{1}{2}}}$
$\frac{1}{2}<1$, значит интеграл сходится при любых значениях $p$.

Вопрос возник при выяснении сходимости второго интеграла.
2)$I_2=\int\limits_{2}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p} \sqrt{\ln{x}}}$
Преподаватель намекнул, что нужно сделать замену логарифма, а потом сравнить интеграл с гамма-функцией Эйлера.
Обозначил $\ln{x}=t$, и после замены получил интеграл

$$I_2=\int\limits_{\ln{2}}^{+\infty}\ e^{-pt+t} \cdot t^{-\frac{1}{2}} dt$$

Вопрос в следующем: как именно сравнить этот интеграл с гамма-функцией Эйлера

$$\Gamma(p)=\int\limits_{0}^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}dx$$

и выяснить, при каких $p$ интеграл $I_2$ сходится?

[Lia]

krodd2
Замечание за дублирование темы из Карантина. В следующий раз исправляйте тему там, дубль будет закрыт.

[demolishka]

Тут без гамма функции можно обойтись если знать как растет логарифм по сравнению со степенной функцией.

[Brukvalub]

Если $p\ne 1$, то замените$ t=\frac{u}{1-p}$, при $p=1$ ответ очевиден