2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти область сходимости интеграла
Сообщение20.03.2015, 22:04 
Требуется найти область сходимости интеграла $$\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p} \sqrt{\ln{x}}}$$
Т.к. и $1$, и $+\infty$ - особые точки, я разбил интеграл на два интеграла $I_1$ и $I_2$:
$$I_1=\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x^{p} \sqrt{\ln{x}}}$$
$$I_2=\int\limits_{2}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p} \sqrt{\ln{x}}}$$

Далее исследую сходимость каждого интеграла:

1) $I_1=\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x^{p} \sqrt{\ln{x}}}$
По признаку сравнения в предельной форме при $x \to 1$, $\frac{1}{x^{p} \sqrt{\ln{x}}} \sim \frac{1}{(x-1)^{\frac{1}{2}}}$
$\frac{1}{2}<1$, значит интеграл сходится при любых значениях $p$.

Вопрос возник при выяснении сходимости второго интеграла.
2)$I_2=\int\limits_{2}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p} \sqrt{\ln{x}}}$
Преподаватель намекнул, что нужно сделать замену логарифма, а потом сравнить интеграл с гамма-функцией Эйлера.
Обозначил $\ln{x}=t$, и после замены получил интеграл
$$I_2=\int\limits_{\ln{2}}^{+\infty}\ e^{-pt+t} \cdot t^{-\frac{1}{2}} dt$$
Вопрос в следующем: как именно сравнить этот интеграл с гамма-функцией Эйлера $$\Gamma(p)=\int\limits_{0}^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}dx$$
и выяснить, при каких $p$ интеграл $I_2$ сходится?

 
 
 
 Re: Найти область сходимости интеграла
Сообщение20.03.2015, 22:15 
 !  krodd2
Замечание за дублирование темы из Карантина. В следующий раз исправляйте тему там, дубль будет закрыт.

 
 
 
 Re: Найти область сходимости интеграла
Сообщение20.03.2015, 22:18 
Аватара пользователя
Тут без гамма функции можно обойтись если знать как растет логарифм по сравнению со степенной функцией.

 
 
 
 Re: Найти область сходимости интеграла
Сообщение20.03.2015, 23:19 
Аватара пользователя
Если $p\ne 1$, то замените$ t=\frac{u}{1-p}$, при $p=1$ ответ очевиден

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group