2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти область сходимости интеграла
Сообщение20.03.2015, 22:04 


05/04/14
22
Требуется найти область сходимости интеграла $$\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p} \sqrt{\ln{x}}}$$
Т.к. и $1$, и $+\infty$ - особые точки, я разбил интеграл на два интеграла $I_1$ и $I_2$:
$$I_1=\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x^{p} \sqrt{\ln{x}}}$$
$$I_2=\int\limits_{2}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p} \sqrt{\ln{x}}}$$

Далее исследую сходимость каждого интеграла:

1) $I_1=\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x^{p} \sqrt{\ln{x}}}$
По признаку сравнения в предельной форме при $x \to 1$, $\frac{1}{x^{p} \sqrt{\ln{x}}} \sim \frac{1}{(x-1)^{\frac{1}{2}}}$
$\frac{1}{2}<1$, значит интеграл сходится при любых значениях $p$.

Вопрос возник при выяснении сходимости второго интеграла.
2)$I_2=\int\limits_{2}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p} \sqrt{\ln{x}}}$
Преподаватель намекнул, что нужно сделать замену логарифма, а потом сравнить интеграл с гамма-функцией Эйлера.
Обозначил $\ln{x}=t$, и после замены получил интеграл
$$I_2=\int\limits_{\ln{2}}^{+\infty}\ e^{-pt+t} \cdot t^{-\frac{1}{2}} dt$$
Вопрос в следующем: как именно сравнить этот интеграл с гамма-функцией Эйлера $$\Gamma(p)=\int\limits_{0}^{+\infty}x^{p-1}e^{-x}dx$$
и выяснить, при каких $p$ интеграл $I_2$ сходится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти область сходимости интеграла
Сообщение20.03.2015, 22:15 
Модератор


20/03/14
8218
 !  krodd2
Замечание за дублирование темы из Карантина. В следующий раз исправляйте тему там, дубль будет закрыт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти область сходимости интеграла
Сообщение20.03.2015, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
658
матмех спбгу
Тут без гамма функции можно обойтись если знать как растет логарифм по сравнению со степенной функцией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти область сходимости интеграла
Сообщение20.03.2015, 23:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
Если $p\ne 1$, то замените$ t=\frac{u}{1-p}$, при $p=1$ ответ очевиден

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group