задача 4389 (Демидович)

[Calculus]

Добрый день! Подскажите, что не так со следующим решением задачи 4389 (Демидович).
Найти $I = \int_S (x-y+z) dydz + (y - z + x) dzdx + (z - x + y) dxdy$,
где $S$ - внешняя сторона поверхности: $|x-y+z| + |y - z + x| + |z - x + y| = 1.$
Решение. По формуле Остроградского-Гаусса:
$I = \int_V 3 dV = 3V$,
где $V$- объем соответствующего октаэдра c центром в начале координат. Вершину $V$ найдем из системы $\left\{\begin{array}{l} x - y + z= 1, \\ y - z + x =0, \\ z - x + y = 0.\end{array}\right.$
Откуда $A(\frac12,0,\frac12)$, и расстояние от вершины до центра $l = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Поэтому $V = 8\frac{l^3}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3}$. Следовательно $I = \sqrt{2}$.

В ответах $I = 1$.

[Brukvalub]

Если считать выражения под модулями новыми переменными, то получится объединение 8-ми пирамид объема по $\frac{1}{6}$. Ясно, что якобиан такой линейной замены - рационален, так что иррац. объема тела получиться не могло. Ищите ошибку в вашем подсчете объема.

[Calculus]

Спасибо. Действительно, почему это я решил, что тут правильный октаэдр

[svv]

Calculus в сообщении #992822 писал(а):

почему это я решил, что тут правильный октаэдр

Потому что симметрия казалась полной, вплоть до замены $x$ на $-x$ и т.п.