Небольшая задача по квантовой механике

[Kirill_Sal]

Здравствуйте! Придумал простую задачку по КМ и хочу ее решить. Не знаю, имеет ли оно какое-то отношение к реальности, но мне она интересна с методической точки зрения.
Система находится в однородном магнитном поле. Добавляем слабое электрическое поле, параллельное магнитному. Найти изменение энергетического спектра.
Эта задача мне пришла в голову, когда я увидел формулу уровней Ландау:

$E_{n}=\hbar\omega_{H}(n+1/2)+(p_{z})^2/2m$

Из этой формулы видно, что магнитное поле как-бы "квантует" непрерывный спектр свободной частицы; при этом это квантование, как и следовало ожидать, связано только с движением частицы в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля (пусть будет $O_{z}$).
Поставленную выше задачу я хочу решить, несколько обобщая этот результат. Электрическое поле в отличие от магнитного является продольным. Законно ли разделить переменные в УШ и решить для $\Psi_{z}$ простую задачу теории возмущений? Спектр $\Psi$ Дискретен, а $\Psi_{z}$ непрерывен и у меня возникают сомнения, все ли правильно.

Если такая ситуация встречается в природе, то было бы интересно как-то усложнить эту задачу.

[Munin]

Для начала, что вы скажете о более простой ситуации? Система (наверное, одиночный электрон, всё-таки) находится в отсутствие каких-либо полей. Добавляем слабое однородное электрическое поле. Как меняется энергетический спектр?

[fizeg]

Надо разделить два вопроса - разделение переменных и собственно вычисления по теории возмущений.
Допустим если я добавлю электрическое поле, зависящее только от $z$, то только и поменяется уравнение на $\Psi_z$. Дальше можно забыть про начальную задачу и обсуждать применимость теории возмущений в обычном одномерном Шредингере. Постоянное поле (т.е. линейный потенциал) кстати будет с этой точки зрения не очень хорошим, но с другой стороны является точно решаемым.

[Red_Herring]

fizeg в сообщении #992662 писал(а):

Постоянное поле (т.е. линейный потенциал) кстати будет с этой точки зрения не очень хорошим, но с другой стороны является точно решаемым.

А если хочется и хорошего (чтобы спектр был точечным) и точно решаемого—берите квадратичный потенциал

[fizeg]

Red_Herring
Ну прийти к спектру осциллятора от свободной частицы по теории возмущений будет наверное весьма проблематично

А вот если так. Пусть потенциал представляется в виде суммы $U(x,y,z)=U_x(x,y)+U_z(z)$, тогда можно поделить уравнение так, что будет уравнение на $\Psi_z$, которое лучше обсуждать отдельно. $U_x(x,y)$ же будем считать малым возмущением.

[Red_Herring]

fizeg в сообщении #992696 писал(а):

по теории возмущений

А зачем теория возмущений если все точно решаемо (в квадратичном потенциале)? И постоянное магнитное поле не помеха

[fizeg]

Red_Herring
Ну очевидно, чтобы топикстартер потренировался, раз уж сам рвется

[Kirill_Sal]

Кстати, правда, зачем нам теория возмущений, если задачу для однородного поля можно решить точно?
Munin, спектр как был непрерывным, так непрерывным и останется. Как-то я сразу об этом не подумал. Похоже, что задача теряет какой-либо интерес.

[Red_Herring]

Kirill_Sal в сообщении #992718 писал(а):

Munin, спектр как был непрерывным, так непрерывным и останется. Как-то я сразу об этом не подумал. Похоже, что задача теряет какой-либо интерес.

Это для тех, кто не знает что непрерывный спектр (и даже абсолютно непрерывный—как в данном случае) бывает разным.

[Kirill_Sal]

fizeg
Ок, я согласен, что постановка задачи не очень интересная.
Поставим такую же задачу для атома водорода, находящегося в магнитном поле и слабом однородном электрическом поле (что-то наподобие эффекта Штарка). Здесь уже без теории возмущений не обойтись. Но тогда также возникает вопрос о силе магнитного поля. Важнее, конечно, для начала понять, есть ли вообще смысл решать такую задачу.
Red_Herring
Я понимаю, что непрерывный спектр может быть разным. Просто с физической точки зрения его изменение вряд ли интересно. Может быть, стоит рассмотреть слабое, но неоднородное (квантующее эл.поле).
Или допустим, что слабое электрическое поле зависит от трех координат, но при этом остается продольным. Вот в этом случае, я предвижу, разделение переменных будет сделать непросто.

[Red_Herring]

Kirill_Sal в сообщении #992722 писал(а):

Просто с физической точки зрения его изменение вряд ли интересно.

Попробуйте это сказать специалистам по теории рассеяния

[Kirill_Sal]

Red_Herring
Я пока до теории рассеяния не дошел . Хорошо, что я добавил к своему утверждению осторожное "вряд ли"

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #992722 писал(а):

Просто с физической точки зрения его изменение вряд ли интересно.

Как раз с физической точки зрения его изменение здесь очень интересно: он был ограничен снизу, а стал неограничен снизу. Физически, это означает, что любое состояние будет падать вниз (с излучением) неограниченно. Кроме того, если посмотреть на движение в пространстве, то всякое состояние уходит на бесконечность в область низкого потенциала.

[Kirill_Sal]

Munin
Спасибо, что обратили внимание, не подумал об этом. Уточните, пожалуйста, речь по-прежнему идет об эл.поле $E||H$? Просто если мы, например, рассмотрим $E||O_{x}$, то учитывая, что в калибровке Ландау $A_{y}=Hx/2$, в уравнение Шредингера просто меняется вид суммы квадратов и происходит смещение энергетического спектра, но не "проваливание".

[Red_Herring]

Если электрическое поле перпендикулярно магнитному то все равно будет проваливание. В классической механике это проявляется также—электроны движутся не по замкнутым окружностям, а по окружностям дрейфующим перпендикулярно электрическому полю (после отделения движения параллельно магнитному полю