Вращения платоновых тел в 3х мерном пространстве

[Sasha_Gu]

Добрый день, уважаемые форумчане, помогите, пожалуйста, разобраться с задачей.
Вопрос следующий: необходимо посчитать для всех 5 платоновых тел количество вращений в 3х-мерном пространстве, которые оставляют эти тела неизменными.
Хотелось бы разобраться хотя бы на примере тетраэдра. Я профан и т.к. так с наскоку разобраться было трудно первым шагом стало изготовление моделей тел и процесс кручения-верчения. Но мои рассуждения как-то расходятся с найденными в литературе.

Мои пассуждения: "У тетраэдра 4 вершины и 4 грани, если "пропустить" ось симметрии через одну из вершин и противолежащую грань, то можно насчитать 3 вращения, оставляющие тетраэдр неизменным, на каждую вершину - итого - 12. Если "пропустить" ось симметрии через середину 1ого из ребер в середину другого ребра, то можно насчитать 2 вращения на каждуюпару ребер, а пар ребер 3, следовательно + еще 6. Итого получилось 18.


Что нашлось по теме - "Рассмотрим подробнее симметрии тетраэдра, т.е. правильного многогранника {3, 3}. Любая прямая, проходящая через любую вершину и центр тетраэдра, проходит через центр противоположной грани. Поворот на 120 или 240 градусов вокруг этой прямой принадлежит к числу симметрий тетраэдра. Так как у тетраэдра 4 вершины (и 4 грани), то мы получим всего 8 прямых симметрий. Любая прямая, проходящая через центр и середину ребра тетраэдра проходит через середину противоположного ребра. Поворот на 180 градусов (полуоборот) вокруг такой прямой также является симметрией. Так как у тетраэдра 3 пары ребер, мы получаем еще 3 прямые симметрии. Следовательно, общее число прямых симметрий, включая тождественное преобразование, доходит до 12. Можно показать, что других прямых симметрий не существует и что имеется 12 обратных симметрий. Таким образом, тетраэдр допускает всего 24 симметрии" - отсюда - http://ru.convdocs.org/docs/index-117.html

и другая версия - "Сколько допускает тетраэдр вразений или каков порядок группы? ...всякая ось симметрии n-ого порядка делает возможным (n-1) разных поворотов. В тетраэдре есть 4 оси третьего порядка, которые проходят через его вершины и центры лежащих напротиы них граней, а так же 3 оси второго порядка , соединяющих середины противоположных (не имеющих общих вершин) ребер. Принято еще прибавлять тождественный поворот. Итого - 4*2+3*1+1 = 12." - отсюда - http://files.school-collection.edu.ru/d ... 6_2006.pdf

Кол-во же возможных вращений для других групп - куба-октаэдра - 24, икосаэдра-додекаэдра - 60.

Правильно ли я понимаю задачу и где ошибка в моих рассуждениях?

[ИСН]

Sasha_Gu в сообщении #992399 писал(а):

Правильно ли я понимаю задачу и где ошибка в моих рассуждениях?

Здесь:

Sasha_Gu в сообщении #992399 писал(а):

У тетраэдра 4 вершины и 4 грани, если "пропустить" ось симметрии через одну из вершин и противолежащую грань, то можно насчитать 3 вращения, оставляющие тетраэдр неизменным, на каждую вершину - итого - 12.

Это какие 3 вращения, позвольте уточнить? На сколько градусов, например?

[TOTAL]

Счетное число вращений на $2k \pi/3$

[Sasha_Gu]

ИСН в сообщении #992413 писал(а):

Это какие 3 вращения, позвольте уточнить? На сколько градусов, например?

На 120 градусов.

[ИСН]

Ну ОК, это одно вращение, а ещё два?

[Sasha_Gu]

Эм... Каждое вращение по 120 градусов, без повторов, конечно же.

[ИСН]

Я понимаю, что Вы имеете в виду, но всё-таки скажите это на моём языке. Вращение - это движение, определяемое осью и углом поворота. Ось Вы задали (можно выбрать 4 разных, это правда). Какие возможны углы поворота. $120^\circ$, да. Ещё?

[Sasha_Gu]

Хорошо) Тогда вопрос, начальное положение, ведь не считается? Я его изначально не считаю, и итого у меня получается 120, 240 и 360 градусов, соответственно.

[ИСН]

Хорошо. Вот мы и добрались до корня зла. Вот этот поворот на $360^\circ$: чем он отличается от начального положения?

[Sasha_Gu]

Кажется я начинаю понимать) Если не считать поворот на 360 и начальное положение, то получается по 2 вращения на ось "вершины-грани" (таких осей 4 - итого 8 вращений) и по 1му вращению на каждую ось "середина ребра - середина противолежащего ребра" (таких осей 3 - итого +3 вращения) Общий результат -12 :) Спасибо! Только у меня теперь не получается по аналогии для куба *берет следующую модель. У куба - 4 оси через 2 пары вершин (они дают нам по 2 вращения, итого 8 вращений), 6 осей через середины ребер (дают по 1му вращению, +6 вращений) и 3 оси через середины граней (на каждую по 3 вращения, +9 вращений). Итого, 8 + 6 + 9 = 23 вращения, а надо 24 :(

[ИСН]

Sasha_Gu в сообщении #992974 писал(а):

по 2 вращения на ось "вершины-грани" (таких осей 4 - итого 8 вращений) и по 1му вращению на каждую ось "середина ребра - середина противолежащего ребра" (таких осей 3 - итого +3 вращения) Общий результат -12

Ещё раз, помедленнее: вижу число 8, вижу число 3. Откуда 12?

[Sasha_Gu]

8 вращений + 3 вращения + 1 тождественный поворот (я, если честно, не понимаю, что это, просто по аналогии с пересчетом в цитатах первом моем посте) = 12, которое, вроде как искомый результат. А вот в случае с кубом именно тождественный поворот забылся... А так тоже 24 получается. Если не затруднит, не могбли бы вы объяснить про тождественный поворот?

[ИСН]

Без теории групп это затруднительно. Ну вот разве что так: Вы считаете разные положения, в которых фигура совпадает сама с собой. Это и есть одно из них, ничем не хуже остальных, так же как 0 ничем не хуже других чисел, например.

[svv]

Можно мне считать, что Вы решили задачу, и показать ещё один способ?

[Sasha_Gu]

svv в сообщении #993047 писал(а):

Можно мне считать, что Вы решили задачу, и показать ещё один способ?

Нет, еще в процессе, еще один способ будет оч. кстати!

2 ИСН: Спасибо за термин! Я имею ввиду теорию групп, поробую покопать по теме, если моей компетенции, конечно, хватит.