Форма записи уравнения

[Helium]

Для меня непонятна форма записи уравнения 10.
Как переписать в обычную форму? И чтобы не в атомных единицах $c=m= \hbar =1$ а все константы были на своих местах.

Уравнение из этой статьи http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/dn/r_112_0050.pdf

[Munin]

Helium в сообщении #992342 писал(а):

Для меня непонятна форма записи уравнения 10.
Как переписать в обычную форму?

Никак. Дело в том, что $\varepsilon(\mathbf{p})$ - это функция. Просто некоторая функция общего вида, хоть линейная, хоть синусоида, и т. п.

И дальше в неё подставляется вместо числового параметра оператор $\widehat{\mathbf{p}}=-i\nabla_\mathbf{r}.$ В неудобных единицах,

$$\widehat{\mathbf{p}}=\left(-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\mathbf{r}_x},-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\mathbf{r}_y},-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\mathbf{r}_z}\right).$$

Что это значит, "подставляется"? Это значит, что функция $\varepsilon(\mathbf{p})$ рассматривается как свой ряд Тейлора (Маклорена):

$$\varepsilon(\mathbf{p})=\varepsilon(0)+\dfrac{\nabla\varepsilon(0)}{1!}\mathbf{p}+\dfrac{\nabla\otimes\nabla\varepsilon(0)}{2!}\mathbf{p}\otimes\mathbf{p}+\dfrac{\nabla\otimes\nabla\otimes\nabla\varepsilon(0)}{3!}\mathbf{p}\otimes\mathbf{p}\otimes\mathbf{p}+\ldots,$$

и дальше именно в эту формулу подставляется вместо простого числового (векторного) параметра $\mathbf{p}$ - оператор $\widehat{\mathbf{p}}.$ Дальше все произведения и суммы понимаются в смысле произведений и сумм операторов. И тогда получается функция (которую нельзя точно вычислить, и тем более нельзя записать простой формулой "в обычной форме"), которая является неким сложным оператором, - $\varepsilon(\widehat{\mathbf{p}}).$ И дальше уже из этого оператора строится дифференциальное уравнение (10).

[Helium]

Жаль что все так сложно.
Фактически авторы тоже пришли к выводу, что кроме обычных решений атом водорода имеет компактные решения с высокой энергией связи.

"Решение, отвечающее связанному состоянию в системе протон $+$ электрон с радиусом
экспоненциального затухания волновой функции равным комптоновской длине
волны электрона, является неожиданным результатом."

О чем я неоднократно говорил #858148.
Можно было бы сравнивать.

[Munin]

На что только не пойдёт фрик, лишь бы прорекламировать свою лженауку...

[Helium]

Munin в сообщении #992445 писал(а):

Никак. Дело в том, что $\varepsilon(\mathbf{p})$ - это функция. Просто некоторая функция общего вида, хоть линейная, хоть синусоида, и т. п.

Но в статье написано, функция $\varepsilon(\mathbf{p})$ известна $\varepsilon(\mathbf{p})={\left({m}^{2} +{\mathbf{p}}^{2} \right)}^{\frac{1}{2}}$ или в полном виде $\varepsilon(\mathbf{p})={\left({m}^{2}{c}^{4} +{\mathbf{p}}^{2}{c}^{2} \right)}^{\frac{1}{2}}$
То есть получится $\varepsilon(\widehat{\mathbf{p}})={\left({m}^{2}{c}^{4} -{\hbar}^{2}\Delta \right)}^{\frac{1}{2}}$ ?
То же не сахар но можно и дальше подумать.

[Munin]

Helium в сообщении #993430 писал(а):

Но в статье написано, функция $\varepsilon(\mathbf{p})$ известна $\varepsilon(\mathbf{p})={\left({m}^{2} +{\mathbf{p}}^{2} \right)}^{\frac{1}{2}}$ или в полном виде $\varepsilon(\mathbf{p})={\left({m}^{2}{c}^{4} +{\mathbf{p}}^{2}{c}^{2} \right)}^{\frac{1}{2}}$

Для того уравнения, о котором вы спрашивали, это не принципиально.

Принципиально разве что то, что $\varepsilon(\mathbf{p})$ - не просто какая-то линейная функция или полином конечной степени.

Helium в сообщении #993430 писал(а):

То есть получится $\varepsilon(\widehat{\mathbf{p}})={\left({m}^{2}{c}^{4} -{\hbar}^{2}\Delta \right)}^{\frac{1}{2}}$ ?

Да, но вопрос, что это значит. На это я попытался дать ответ. Кстати, вы $c^2$ забыли - зачем вам эти константы, если вы за ними всё равно следить не умеете?

[Helium]

Munin в сообщении #993455 писал(а):

Да, но вопрос, что это значит.

Как же авторы интерпретировали этот оператор и получили уравнение (11)?
Выходит есть способ? Но только нужно пока волновую функцию $\psi$ оставить как есть. Пока не подставлять $\psi =\exp\left(-\frac{r}{\xi } \right)$
Решение потом покажет вид $\psi$ .

[Munin]

Если не подставлять, то к (11) перейти нельзя.

-- 21.03.2015 15:05:27 --

Вы, похоже, не знаете методов решения дифференциальных уравнений, а именно, разложения искомого решения по системе собственных решений.

[Helium]

Если полученный оператор подставить в уравнение (10) то получится ${\left({m}^{2}{c}^{4} -{\hbar}^{2}{c}^{2}{\Delta }_{r} \right)}^{\frac{1}{2}}\left({E}^{2} -{\left({m}^{2}{c}^{4} -{\hbar}^{2}{c}^{2}{\Delta }_{r} \right)}\right)\psi =2mEV\left(r \right)\psi $ может еще что то пропустил потом исправлю.
где ${\Delta }_{r} =\frac{{d}^{2}}{d{r}^{2}}+\frac{2}{r}\frac{d}{dr}$ радиальная часть оператора Лапласа.

Теперь как сложный оператор с левой стороны действует на $\psi $? Может по очереди? Или надо раскрывать скобки? Или еще как то?
Какая разница там стоит $\psi $ или $\exp\left(-\frac{r}{\xi } \right)$ ?

[Munin]

Вопрос попроще: как оператор $\dfrac{d}{dx}$ действует на $\exp(-ikx)$?

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Это не «попроще». Это «проще некуда» ;-)

[Helium]

Munin Aritaborian Из ваших восклицаний я так понимаю, что проще простого получить из уравнения (10) уравнение (11)
подстановкой $\psi =\exp\left(-\frac{r}{\xi } \right)$ ?
Интересно было бы посмотреть. Я не смог.

[Aritaborian]

Helium, это не восклицания. Это вопрос:

Munin в сообщении #993671 писал(а):

как оператор $\dfrac{d}{dx}$ действует на $\exp(-ikx)$

Вы можете на него ответить?

[Helium]

$\frac{d}{dx}\exp\left( -ikx\right)=-ik\exp\left( -ikx\right)$
Не понимаю как это связано с темой?
Типа увод внимания публики от главного вопроса?

[Munin]

О, это хорошо. Ну тогда можно заметить, что для функции $\exp(-ikx)$ можно заменить дифференциальный оператор $\dfrac{d}{dx}$ алгебраическим $-ik.$ Так? Но для других функций это будет неверно.