Любое ли 2-зацепление развязывается в пятимерии?

[kp9r4d]

Известно, что любое зацепление одномерных, компактных, линейно связных многообразий без края и особенностей (узлов) можно гомотопически перевести в некоторое количество окружностей в $\mathbb{R}^4$ (разявзять, если грубо). Верно ли, что любое зацепление двумерных, компактных, линейно связных многообразий без края и особенностей можно гомотопически перевести в некоторое количество «простейших» многообразий (сфера с ручкой или проективная плоскость) в $\mathbb{R}^5$?

[type2b]

в $d$-мерии зацеплены могут быть многообразия размерностей $n$ и $m$ при $n+m=d-1$. Посмотрим локально на два кусочка этих многообразий, трансверсально расположенных. Хотим одно передвинуть на другую сторону от другого. Двигать кусочек вдоль себя нет смысла, поэтому про направления вдоль многообразий можно забыть. Остается две точки в $d-n-m$ пространстве. Две точки можно обкрутить одну вокруг другой в $\ge 2$ измерений, а в одном измерении их взаимное расположение поменять нельзя, т.е. они могут быть "зацеплены".

В частности, в 5-мерии две 2-поверхности могут быть нетривиально зацеплены.

[kp9r4d]

type2b
Извиняюсь, почему-то не заметил ваше сообщение, а что значит "трансверсально расположенные"?

[Munin]

type2b в сообщении #934479 писал(а):

В частности, в 5-мерии две 2-поверхности могут быть нетривиально зацеплены.

А если это 5-мерие вложить в 6-мерие, то они оказываются расцеплены, так?

[Evgenjy]

kp9r4d в сообщении #934262 писал(а):

можно гомотопически

Вы имели ввиду "изотопически"?

[g______d]

Munin в сообщении #990970 писал(а):

А если это 5-мерие вложить в 6-мерие, то они оказываются расцеплены, так?

Да, разумеется. Можно сдвинуть одну из поверхностей вдоль шестой координаты, при этом, очевидно, вторая поверхность не будет задета, и после этого они будут расцеплены.

[kp9r4d]

А в шестимерии любые развязываются?

Evgenjy в сообщении #990997 писал(а):

Вы имели ввиду "изотопически"?

Возможно, хотел строго, а вышло как всегда.

[Munin]

kp9r4d
Перечитайте внимательно ответ type2b. Там даже формула есть.

[kp9r4d]

Перечитал, ответа не увидел. Увидел только

type2b в сообщении #934479 писал(а):

в $d$-мерии зацеплены могут быть многообразия размерностей $n$ и $m$ при $n+m=d-1$.

откуда вроде как не должно следовать, что при $n+m<d-1$ они зацеплены быть не могут или, наоборот, могут. А про трансверсальное расположение я так и не понял и в гугле ничего не нашёл.

[Munin]

Вообще-то эта фраза подразумевает именно точный критерий. И дальше объяснено, почему. И даже в ответе на мой вопрос post991110.html#p991110 уже прозвучал буквально ответ на ваш вопрос.

kp9r4d в сообщении #992031 писал(а):

А про трансверсальное расположение я так и не понял и в гугле ничего не нашёл.

Трансверсальный - поперечный.

[kp9r4d]

Munin в сообщении #992039 писал(а):

Вообще-то эта фраза подразумевает именно точный критерий.

В каком смысле точный критерий? $n$-поверхность и $m$-поверхность можно нетривиально зацепить в $d$-пространстве тогда и только тогда, когда $n+m = d-1$? Ну это очевидно неверно

Munin в сообщении #992039 писал(а):

И даже в ответе на мой вопрос post991110.html#p991110 уже прозвучал буквально ответ на ваш вопрос.

Да нет, не на мой. Если две 2-поверхности зацепить в 3-пространстве, а затем их вложить в 4-пространство то их тоже можно будет развязать, но отсюда не следует, что в 4-пространстве нельзя завязать две 2-поверхности.

[Munin]

kp9r4d в сообщении #992056 писал(а):

Если две 2-поверхности зацепить в 3-пространстве

Можно пример?

[kp9r4d]

Munin
Два сцепленных тора.

[Munin]

kp9r4d в сообщении #992056 писал(а):

тогда и только тогда, когда $n+m = d-1$

Тогда и только тогда, когда $n+m\leqslant d-1.$ А равенство указывает точную верхнюю границу.

Спасибо за пример, а то я засомневался что-то.

[kp9r4d]

Пожалуйста! Тогда уж $n+m \geqslant d-1$ (тот же пример с торами). Но я всё равно конструкцию type2b не очень понял. По сути, если такая оценка правдивая, это будет значить, что любое $(n,m)$-зацепление можно вложить в $\mathbb{R}^{n+m+1}$, как-то теорема мощно очень звучит для столь короткого рассуждения. Правда ли это? 4-поверхности ведь очень жуткими бывают...