Регуляризация степенных особенностей

[hxxxrz]

Нужно доказать: ${\left( {\frac{1}{{x - i0}}} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{{\left( {x - i0} \right)}^2}}}$

Решаю так: $\left( {{{\left( {\frac{1}{{x - i0}}} \right)}^\prime },\varphi \left( x \right)} \right) = - \left( {\frac{1}{{x - i0}},\varphi '(x)} \right) = $

$ = - \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to + 0} \int\limits_R {\frac{{\varphi '\left( x \right)}}{{x - i\varepsilon }}} dx = $

$ = - \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to + 0} \left( {\left. {\frac{{\varphi \left( x \right)}}{{x - i\varepsilon }}} \right|_{ - \infty }^\infty + \int\limits_R {\frac{{\varphi \left( x \right)}}{{{{\left( {x - i\varepsilon } \right)}^2}}}} dx} \right)$

Дальше непонятно, как действовать с бесконечностями.

[Otta]

Вспомнить, какого класса $\varphi$.

[hxxxrz]

Otta в сообщении #991678 писал(а):

Вспомнить, какого класса $\varphi$.

Спасибо, а в этой теореме

$\gamma \in \left( {0, + \infty } \right)\backslash N$

$n = \left[ \gamma \right]$

$\left( {x_ + ^{ - \gamma },\varphi \left( x \right)} \right) = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\varphi \left( x \right) - \sum\limits_{p = 0}^{n - 1} {\frac{1}{{p!}}{\varphi ^{\left( p \right)}}\left( 0 \right){x^p}} }}{{{x^\gamma }}}} dx$

индекс + что может значить?

[Otta]

Обозначение просто. Ну, если хотите, указание на изменение аргумента под интегралом на положительной полуоси. А если хотите - указание на область, являющуюся носителем соотв. обобщенной функции. Что то же.