2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 \aleph_2 =? 2^C
Сообщение08.03.2015, 21:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63917
Что-то я задумался и не вспомнил, подскажите, если это общеизвестный факт...

$\aleph_1=\mathfrak{c}\quad\stackrel{?}{\Longrightarrow}\quad\aleph_2=2^\mathfrak{c}$

Т. е.: Верно ли, что из положительного решения континуум-гипотезы (которую, как я понимаю, можно добавить к ZFC как независимую аксиому) следует $\aleph_2=2^\mathfrak{c},$ или это становится гипотезой под следующим номером, или вообще известно что неверно?

 Профиль  
                  
 
 Re: \aleph_2 =? 2^C
Сообщение08.03.2015, 22:35 
Аватара пользователя


22/03/06
948
Раздел, конечно, самый такой.

 Профиль  
                  
 
 Re: \aleph_2 =? 2^C
Сообщение08.03.2015, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63917
Я не хочу глубоко разбираться, я хочу просто просветиться на один факт.

 Профиль  
                  
 
 Re: \aleph_2 =? 2^C
Сообщение08.03.2015, 23:41 


04/08/14
23
Не думаю, что это общеизвестно, но в библиотечке "Математическое просвещение" упоминается
Цитата:
Теорема. Теорема, изложенная выше {прим. она утверждает, что кардинал вида $2^{\alpha}$ регулярен}, и отношение порядка, введённое нами между кардиналами, — это единственные ограничения на всю цепочку кардиналов (т. е. с учётом этих двух условий «может быть всё что угодно»).
Таким образом, поскольку во "всё что угодно" входит случай "счётное-континуум-нечто-2^континуум", то заявленное утверждение должно быть неверным, однако прямой ссылки там не видно.
Цитата взята из брошюры И. В. Ященко "Парадоксы теории множеств"

 Профиль  
                  
 
 Re: \aleph_2 =? 2^C
Сообщение08.03.2015, 23:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
Независимое утверждение, как я понимаю.
Отдельно $\aleph_2=2^\mathfrak{c}$, я никогда не встречал, а утверждение "для любого ординала $\alpha$ верно, что $2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}$", в присутствии аксиомы выбора эквивалентное "для бесконечных $X$ и $Y$, таких что $|X|<|Y|$ и $|Y|\leq|\mathcal P(X)|$ верно $|Y|=|\mathcal P(X)|$", называется обобщённой континуум-гипотезой. Оно независимо от $ZF(C)$ и влечёт в $ZF$ аксиому выбора.

А ещё есть теорема Истона. Она вообще говорит, что $2^{\aleph_\alpha}$ может быть почти чем угодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: \aleph_2 =? 2^C
Сообщение09.03.2015, 11:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63917
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: \aleph_2 =? 2^C
Сообщение17.03.2015, 01:51 
Аватара пользователя


28/01/12
467
Не знаю насколько актуально, но вот еще нашел: Тема "Мощность множества всех функций N^N или 2^N?", сообщениe Someone #43765

 Профиль  
                  
 
 Re: \aleph_2 =? 2^C
Сообщение17.03.2015, 11:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63917
Спасибо, интересно. Это заставило меня вы́читать, что $\max\{\kappa,2^\mu\}\leqslant\kappa^\mu\leqslant\max\{2^\kappa,2^\mu\}.$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.03.2015, 11:58 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8946
 i  Тема перемещена из форума «Свободный полёт» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: \aleph_2 =? 2^C
Сообщение17.03.2015, 12:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3881
МФТИ ФУПМ
Munin в сообщении #991407 писал(а):
Это заставило меня вы́читать, что $\max\{\kappa,2^\mu\}\leqslant\kappa^\mu\leqslant\max\{2^\kappa,2^\mu\}.$
Нужны слова про бесконечность.
Пусть $\mu$ бесконечный кардинал и пусть $2\leqslant\kappa\leqslant 2^\mu$. Тогда $\kappa^\mu=2^\mu$.

-- Вт мар 17, 2015 12:59:21 --

А при принятии обобщённой континуум-гипотезы возведение в степень становится совсем простым.

 Профиль  
                  
 
 Re: \aleph_2 =? 2^C
Сообщение17.03.2015, 13:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63917
Nemiroff в сообщении #991431 писал(а):
Нужны слова про бесконечность.

Да-да, я просто сослался.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group