\aleph_2 =? 2^C

[Munin]

Что-то я задумался и не вспомнил, подскажите, если это общеизвестный факт...

$\aleph_1=\mathfrak{c}\quad\stackrel{?}{\Longrightarrow}\quad\aleph_2=2^\mathfrak{c}$

Т. е.: Верно ли, что из положительного решения континуум-гипотезы (которую, как я понимаю, можно добавить к ZFC как независимую аксиому) следует $\aleph_2=2^\mathfrak{c},$ или это становится гипотезой под следующим номером, или вообще известно что неверно?

[Mopnex]

Раздел, конечно, самый такой.

[Munin]

Я не хочу глубоко разбираться, я хочу просто просветиться на один факт.

[stef]

Не думаю, что это общеизвестно, но в библиотечке "Математическое просвещение" упоминается

Цитата:

Теорема. Теорема, изложенная выше {прим. она утверждает, что кардинал вида $2^{\alpha}$ регулярен}, и отношение порядка, введённое нами между кардиналами, — это единственные ограничения на всю цепочку кардиналов (т. е. с учётом этих двух условий «может быть всё что угодно»).

Таким образом, поскольку во "всё что угодно" входит случай "счётное-континуум-нечто-2^континуум", то заявленное утверждение должно быть неверным, однако прямой ссылки там не видно.
Цитата взята из брошюры И. В. Ященко "Парадоксы теории множеств"

[Nemiroff]

Независимое утверждение, как я понимаю.
Отдельно $\aleph_2=2^\mathfrak{c}$, я никогда не встречал, а утверждение "для любого ординала $\alpha$ верно, что $2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}$", в присутствии аксиомы выбора эквивалентное "для бесконечных $X$ и $Y$, таких что $|X|<|Y|$ и $|Y|\leq|\mathcal P(X)|$ верно $|Y|=|\mathcal P(X)|$", называется обобщённой континуум-гипотезой. Оно независимо от $ZF(C)$ и влечёт в $ZF$ аксиому выбора.

А ещё есть теорема Истона. Она вообще говорит, что $2^{\aleph_\alpha}$ может быть почти чем угодно.

[Munin]

Спасибо!

[NT2000]

Не знаю насколько актуально, но вот еще нашел: Тема "Мощность множества всех функций N^N или 2^N?", сообщениe Someone #43765

[Munin]

Спасибо, интересно. Это заставило меня вы́читать, что $\max\{\kappa,2^\mu\}\leqslant\kappa^\mu\leqslant\max\{2^\kappa,2^\mu\}.$

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Свободный полёт» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Nemiroff]

Munin в сообщении #991407 писал(а):

Это заставило меня вы́читать, что $\max\{\kappa,2^\mu\}\leqslant\kappa^\mu\leqslant\max\{2^\kappa,2^\mu\}.$

Нужны слова про бесконечность.
Пусть $\mu$ бесконечный кардинал и пусть $2\leqslant\kappa\leqslant 2^\mu$. Тогда $\kappa^\mu=2^\mu$.

-- Вт мар 17, 2015 12:59:21 --

А при принятии обобщённой континуум-гипотезы возведение в степень становится совсем простым.

[Munin]

Nemiroff в сообщении #991431 писал(а):

Нужны слова про бесконечность.

Да-да, я просто сослался.