определитель модифицированной матрицы Коши

[maxal]

Вычислите определитель матрицы $\left(\frac{1}{a_i+b_j}+c\right)_{i,j=1}^n$, где $a_1, b_1, a_2, b_2, \dots, a_n, b_n$ и $c$ - заданные числа.

[RIP]

$$\frac{\prod_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)(b_j-b_i)}{\prod_{i,j=1}^n(a_i+b_j)}\left(1+c\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)\right).$$

[maxal]

Усложним задание: чему равен определитель такой матрицы $\left(\frac{1}{a_i+b_j}+c_i\right)_{i,j=1}^n$ ?

[RIP]

$$\frac{V(\mathbf a)V(\mathbf b)}{\prod_{i,j=1}^n(a_i+b_j)}+\sum_{k=1}^n(-1)^{n+k}c_k\frac{V(\mathbf a(k))V(\mathbf b)}{\prod_{\substack{i,j=1\\i\ne k}}^n(a_i+b_j)}.$$

Здесь $V(\cdot)$ --- определитель Вандермонда, $\mathbf a(k)=(a_1,\ldots,a_{k-1},a_{k+1},\ldots,a_n)$. Сильнее упростить не получилось.

[maxal]

OK. Ну и напрашивается обобщение: чему равен определитель $\left(\frac{1}{a_i+b_j}+c_i+d_j\right)_{i,j=1}^n$ ?

[maxal]

Ссылка по теме:
S. Okada, Generalizations of Cauchy’s Determinant Identity and Schur’s Pfaffian Identity

[maxal]

maxal в сообщении #294365 писал(а):

Усложним задание: чему равен определитель такой матрицы $\left(\frac{1}{a_i+b_j}+c_i\right)_{i,j=1}^n$ ?

Кстати, этот определитель можно вычислить с помощью леммы об определителе (matrix determinant lemma), а этот определитель:

maxal в сообщении #294501 писал(а):

$\left(\frac{1}{a_i+b_j}+c_i+d_j\right)_{i,j=1}^n$

можно попробовать вычислить повторным применением леммы.