2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 определитель модифицированной матрицы Коши
Сообщение04.03.2010, 03:38 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Вычислите определитель матрицы $\left(\frac{1}{a_i+b_j}+c\right)_{i,j=1}^n$, где $a_1, b_1, a_2, b_2, \dots, a_n, b_n$ и $c$ - заданные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: определитель модифицированной матрицы Коши
Сообщение04.03.2010, 05:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
$$\frac{\prod_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)(b_j-b_i)}{\prod_{i,j=1}^n(a_i+b_j)}\left(1+c\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)\right).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: определитель модифицированной матрицы Коши
Сообщение04.03.2010, 05:53 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Усложним задание: чему равен определитель такой матрицы $\left(\frac{1}{a_i+b_j}+c_i\right)_{i,j=1}^n$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: определитель модифицированной матрицы Коши
Сообщение04.03.2010, 08:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
$$\frac{V(\mathbf a)V(\mathbf b)}{\prod_{i,j=1}^n(a_i+b_j)}+\sum_{k=1}^n(-1)^{n+k}c_k\frac{V(\mathbf a(k))V(\mathbf b)}{\prod_{\substack{i,j=1\\i\ne k}}^n(a_i+b_j)}.$$
Здесь $V(\cdot)$ --- определитель Вандермонда, $\mathbf a(k)=(a_1,\ldots,a_{k-1},a_{k+1},\ldots,a_n)$. Сильнее упростить не получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: определитель модифицированной матрицы Коши
Сообщение04.03.2010, 16:06 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
OK. Ну и напрашивается обобщение: чему равен определитель $\left(\frac{1}{a_i+b_j}+c_i+d_j\right)_{i,j=1}^n$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: определитель модифицированной матрицы Коши
Сообщение15.03.2015, 05:07 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Ссылка по теме:
S. Okada, Generalizations of Cauchy’s Determinant Identity and Schur’s Pfaffian Identity

 Профиль  
                  
 
 Re: определитель модифицированной матрицы Коши
Сообщение22.09.2020, 17:03 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
maxal в сообщении #294365 писал(а):
Усложним задание: чему равен определитель такой матрицы $\left(\frac{1}{a_i+b_j}+c_i\right)_{i,j=1}^n$ ?
Кстати, этот определитель можно вычислить с помощью леммы об определителе (matrix determinant lemma), а этот определитель:
maxal в сообщении #294501 писал(а):
$\left(\frac{1}{a_i+b_j}+c_i+d_j\right)_{i,j=1}^n$
можно попробовать вычислить повторным применением леммы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group