Разность потенциалов.

[chak1]

Здравствуйте. Прошу помочь разобраться в решение задачи. Преподаватель сказал, что не правильно.
Сферический слой из диэлектрика с относительной проницаемостью $\varepsilon= 3$ имеет внутренний радиус $R_1 = 1 $ cм и внешний радиус $R_2 = 5$ см. По слою распределён заряд, объёмная плотность которого убывает от внутренней поверхности слоя к внешней по закону $\rho_r={b}/{r}$, где ${b}=6\cdot{10}^{-7}$ Кл/${m}^3$ Найти разность потенциалов $\Delta\varphi$ между внутренней и внешней поверхностями слоя.
Решение

Рассмотрим сферический слой радиуса $r$ и малой толщины $dr$
Разность потенциалов между внутренний и внешней поверхностями этого слоя: $d\varphi=Edr$
где $E=\frac{q}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0{r}^2}$ напряженность поля создаваемого сферическим слоем с внешним радиусом $r$ и внутренним радиусом $R_1$ у внешней поверхности этого слоя.
$q=\int\rho_rdV'$ заряд этого слоя.
$dV'=4\pi{r'}^2dr'$ объем сферического слоя радиусом $r'$ и толщиной $dr'$

$\Rightarrow$ $q=\int\limits_{r}^{R_1}\dfrac{b}{r'}4\pi{r'}^2dr'$ но преподаватель сказал, что этот интеграл не правильный. Почему?
Могу выложить решение целиком, но не вижу смысла т.к ошибка в этом интеграле.

[Munin]

Ошибки:
1. Полужирным шрифтом обозначают векторы. Поэтому, не $\rho(\mathbf{r})=\mathbf{B}/\mathbf{r},$ а $\rho(r)=B/r.$
2. Греческая буква "дельта": $\Delta\varphi.$
3. Штрихи все ставятся в другую сторону: вот сам штрих: ', а вот как это выглядит в формулах: $dV'=4\pi r'^2dr'.$
4. В интеграле пределы должны быть расставлены по смыслу так: нижний - меньший по величине, верхний - больший. Так что,
$q=\int\limits^{r}_{R_1}\dfrac{B}{r'}4\pi r'^2dr'.$

-- 15.03.2015 00:44:42 --

P. S. Буква $B$ зарезервирована за магнитным полем, так что использовать её для какой-то константы достаточно дико.

А картинка такая чёткая, что аж завидно.

[chak1]

Munin , ошибки исправил. Спасибо, пойду переделывать задачу.

[chak1]

Решил такой интеграл
$q=\int\limits_{R_1}^{r}\dfrac{b}{r'}4\pi {r'}^2 dr'$ но преподаватель сказал, что интеграл не верный сам по себе.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- наберите содержимое листочка (если оно нужно), в таком виде это понять невозможно.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

[Munin]

chak1 в сообщении #990655 писал(а):

$q=\int\limits_{R_1}^{r}\dfrac{b}{r'}4\pi {r'}^2 dr'$ но преподаватель сказал, что интеграл не верный сам по себе.

Нет, ну это уже я не знаю почему. Меня бы ваш преподаватель, наверное, тоже обругал.

P. S. "Решить интеграл - невозможно!"
(интеграл можно только вычислить = взять)

[DimaM]

Munin в сообщении #990879 писал(а):

"Решить интеграл - невозможно!"

(Оффтоп)

Вот математик Николай
Решал какой-то интеграл,
Три дня решал и не решил,
Посуду бил и так орал!
Большой невроз.

[Munin]

(Оффтоп)

Это не моё, это было в подписи кого-то из активных участников, когда подписи ещё не отменили.
Ещё из хорошего запомнившегося: "Любую вещь можно назвать трамваем".
В общем, какой-то общеизвестный фольклор.

[lim]

По поводу решения:
давайте логично: За $dr$ происходит изменение потенциала $E \cdot dr$. Тогда $\Delta\varphi = \int_{R_1}^{R_2} E(r)dr$. Осталось заметить зависимость $E(r)$.
Ну... это надеюсь Вы сами осилите.

[DimaM]

lim в сообщении #1023699 писал(а):

За $dr$ происходит изменение потенциала $E \cdot dr$.

Правильно все-таки $-{\bf E}\cdot {\bf dr}$.