Теория меры (сигма аддитивность)

[Bod]

Хм... сложно формализовать это понятие... может и действительно в нем ошибка. Чтобы лучше понять зададимся таким вопросом - имеется некоторое множество с счетным числом элементов. Если мы будем отделять в каждом шаге от него по одному элементу, что в итоге получится если число шагов устремить к бесконечности. Будет ли это совокупностью одноточечных множеств?

[Brukvalub]

Bod писал(а):

что в итоге получится если число шагов устремить к бесконечности.

Именно эта конструкция и не формализована, поэтому и непонятна.

[Bod]

Не могли бы вы пояснить, какие дополнительные определения необходимо ввести чтобы можно было считать данную операцию вполне формализованной. (Если возможно пример.)

[Brukvalub]

Bod писал(а):

Не могли бы вы пояснить, какие дополнительные определения необходимо ввести чтобы можно было считать данную операцию вполне формализованной. (Если возможно пример.)

Постойте, это ведь Вы пытаетесь описать таким неформальным методом некоторую конструкцию. Как же я могу узнать, что Вы на самом деле под своими словами скрываете? Ведь я в славную когорту медиумов и экстрасенсов этого Форума не вхожу

[Bod]

Да нет, я имел в виду, что мне не совсем понятно, что в данном случае значит – "конструкция не формализована". Потому и попросил пример, как можно вообще осуществить подобную формализацию и не обязательно в точности для рассматриваемой задачи
[/img]

[Алексей К.]

Brukvalub писал(а):

Ведь я в славную когорту медиумов и экстрасенсов этого Форума не вхожу

Давайте ограничимся изначальным Вашим термином "телепаты". Ежели нас делить на телепатов, медиумов и эстрасенсов, все запутаются.

[PAV]

У Вас не формализовано понятие "в итоге". Вы описали некоторый процесс. Каждый шаг его понятен, но процесс идет бесконечно много и никогда не остановится.

Можно сказать, что на каждом шаге бесконечное множество остается счетным, так что с точки зрения мощности оно не уменьшается.

Во всех процедурах, в которых что-то подобное бесконечное используется, понятие "в итоге" формализуется строго.

[Bod]

Господа, всех благодарю - я кажется понял. Я интуитивно пытался вводить степень близости между двумя множествами без введения меры - через количество точек в их симметрической разности и под стремлением подразумевал, что их количество будет уменьшаться… а на самом деле при любом конечном числе операций (выше приведенных) их количество неизменно, так что без меры не обойтись, а с ней подобные доказательства уже не получатся.

[Bod]

Ещё возник такой вот вопрос по теории меры. Если предположим задана \sigma - алгебра и на ней определена мера, которая является \sigma - аддитивной, можно ли утверждать что любая другая мера заданная на данной системе множеств так же окажется \sigma - аддитивной?

[AD]

Нет, конечно. Введите на любой $\sigma$-алгебре меру так, чтобы $\mu(\varnothing)=0$ и $\mu(A)=+\infty$ при $A\neq\varnothing$. Если бы ваше утверждение было верно, то получилось бы, что все меры на всех $\sigma$-алгебрах $\sigma$-аддитивны. А к этому уже легко привести контрпример.

[Bod]

>>А к этому уже легко привести контрпример.

Не могли бы вы это сделать

[Профессор Снэйп]

Если допустить, что мера может принимать значение $+\infty$, то контрпример строится просто. Достаточно взять в качестве $\sigma$-алгебры множество $\mathcal{P}(U)$ всех подмножеств бесконечного множества $U$ и положить $\mu(X)=0$ для всех конечных $X \subseteq U$ и $\mu(X)=+\infty$ для всех бесконечных $X \subseteq U$.

Интересно, а можно ли придумать контрпример с "вероятностной мерой" (то есть такой контрпример, в котором все элементы $\sigma$-алгебры являются подмножествами $U$ и $\mu(U)=1$)?

Добавлено спустя 33 минуты 52 секунды:

Подумав некоторое время, понял, что можно.

Пусть $\mathcal{F}$ --- неглавный ультрафильтр на $\mathbb{N}$ (считаем, что натуральный ряд начинается с нуля). В качестве $\sigma$-алгебры возьмём алгебру $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ всех подмножеств $\mathbb{N}$. Для $X \subseteq \mathbb{N}$ положим

$$ \mu(X) = \begin{cases} \sum_{i \in X} 2^{-(i+2)}, &X \not\in \mathcal{F};\\ 1/2 + \sum_{i \in X} 2^{-(i+2)}, &X \in \mathcal{F}. \end{cases} $$

Легко проверить, что $\mu$ является конечно аддитивной, но не счётно аддитивной мерой со свойством $\mu(\mathbb{N}) = 1$.

[AD]

То есть надо просто привести пример не$\sigma$-аддитивной меры?

А что если поиграться с такой конструкцией (мне самому не понятно еще, что тут будет):
$X=\mathbb{Q}\cap[0,1]$ - пространство,
и зададим меру на полукольце промежутков
$\mu\bigl(\mathbb{Q}\cap(a,b]\bigr)$ $=$ $\mu\bigl(\mathbb{Q}\cap[a,b)\bigr) $=$ \mu\bigl(\mathbb{Q}\cap(a,b)\bigr) $=$ \mu\bigl(\mathbb{Q}\cap[a,b]\bigr)=b-a$
при $a,b\in\mathbb{Q}\cap[0,1]$.
Можно ли продолжить это на какую-нибудь $\sigma$-алгебру?
Ясно, что полученная мера в любом случае окажется не$\sigma$-аддитивной, так как мера точки равна нулю, а мера всего пространства $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ равна 1.

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

Можно ли продолжить это на какую-нибудь $\sigma$-алгебру?

Что значит "на какую-нибудь"?

$\sigma$-алгебра тут однозначно задаётся. Она содержит все одноточечные подмножества носителя, а так как носитель счётный, то и вообще все его подмножества. Другими словами, существует единственная $\sigma$-алгебра, расширяющая Ваше полукольцо, и она равна $\mathcal{P}(\mathbb{Q} \cap [0,1])$

А продолжения меры с полукольца на эту алгебру, похоже что, не существует

[AD]

Хм, да, согласен, не подумал. Но почему не существует продолжения - не понимаю пока.