2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решить уравнение в частных производных и определить его тип
Сообщение12.03.2015, 23:03 


12/03/15
5
Здравствуйте. Тут я опишу несколько вопросов по ЗК для уравнения мат.физики.
Дана задача Коши для уравнения в частных производных четвертого порядка:
$U_{t}(x,t)=U_{xxxx}(x,t); \ t>0, x\in\mathbb{R}$
$U(x,0)=x^2.$
Необходимо найти решение и определить тип уравнения.
Решение (на самом деле не нужно, но может кому-то пригодится) —
Находим решение методом операторной экспоненты:
Запишем уравнение как $U_{t}(x,t)=AU(x,t)$
Решение ищем в виде:
$U(x,t)=e^{tA}\varphi(x)$, где $\varphi(x) = x^2$ — наши начальные условия, а $A=\frac{\delta ^4}{\delta x^4}.$ — дифференциальный оператор.
Разложив решение в ряд Тейлора получим $U(x,t)= \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!}A^k\varphi(x) $
Очевидно, что $A^k x^2 = 0, \forall k \geqslant 1$, а при $ k = 0, A^k x^2 \equiv Ex^2 = x^2$, где $E$ — тождественный оператор.
Следовательно находим решение $U(x,t)=\frac{1^0}{0!}x^2 = x^2$.
Решение верное и подходит по начальным условиям.

Далее определяем тип уравнения, тут у меня и возникают вопросы.
$\gamma:\Psi(x,t) = 0$ — характеристика
$(\Psi_x(x,t))^4= 0\Rightarrow$ $ ({\left\lvert\Psi(x,t)\right\rvert}^2)^2= 0  \Rightarrow$ $ \Psi_{x_{k}(x,t)} = 0 \Rightarrow $ $ \Psi(x,t) = \Phi(t) \Rightarrow$ $ t = \operatorname{const}$ — характеристики. (Вопрос: верно ли находить подобным образом?)
Одна вещественная характеристика в уравнении четвертого порядка — уравнение параболического типа. (Вопрос: это верно?)
Вопрос: Корректно ли поставлена задача? Я думаю да, так как у нас нет начального условия вида $U_t(x,0)=\varphi_1(x).$
Буду благодарен за подсказки, и советы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение в частных производных и определить его тип
Сообщение12.03.2015, 23:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7367
Hogtown
Решение разумеется найдено верное, но
1) Задача Коши в направлении $t>0$ для этого оператора плохо поставлена и оператор $e^{At}$ плохо определен.
2) Даже если бы он был хорошо определен (как при $t<0$) решение в виде ряда некорректно из-за неограниченности оператора.

ПС Разумеется если мы говорим о "разумном" пространстве функций

3) К какому из трёх классических типов подходит ур-ние (если подходит)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение в частных производных и определить его тип
Сообщение12.03.2015, 23:37 


12/03/15
5
Всё же я не могу понять почему оператор $e^{At}$ будет плохо определен. Или же это из-за того что решение из $C^2$?
1)Уравнение подходит к параболическому типу, так как вещественных характеристик меньше чем степень уравнения, моё мнение.
2)Всё что я напридумывал — ложь, и задача не корректна?
Склоняюсь к первому варианту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение в частных производных и определить его тип
Сообщение12.03.2015, 23:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7367
Hogtown
1) Посмотрите на осциллирующие решения $u=e^{\omega^4 t+i\omega x}$ с $\omega \gg 1$

2) Точка зрения, что к параболическому типу относится то что "вещественных характеристик меньше чем степень уравнения" это точка зрения алгебраиста-формалиста (тогда туда пойдет и Шредингер и $u_t=u_{xxx}$ принципиально отличны. На самом деле оно параболическое в направлении $t <0$. Сравним с $u_t=-u_{xx}$ у которого осциллирующие решения $u=e^{\omega^2 t+i\omega x}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение в частных производных и определить его тип
Сообщение13.03.2015, 01:27 


12/03/15
5
Глянув на осциллирующие решения не понял ничего, так как не имел счастья изучать что это такое.
Теперь я запутался окончательно. Мне необходимо дать чисто формальный ответ по типу уравнения.
Немного почитав и подумав, задался вопросом, корректно ли поставлена задача? Ведь наше начальное условие $U(x,0)=x^2$ задано на характеристике, следовательно задача поставлена некорректно. Решение будет либо не единственно, либо его нет.
Спасибо за советы, но пока остановлюсь на варианте — параболический тип.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение в частных производных и определить его тип
Сообщение13.03.2015, 15:19 


12/03/15
5
Собственно подумал и решил.
Ответы на вопросы:
Находить характеристики таким способом верно. Меня не поправили, но всё же максимальное количество вещественных решений характеристического уравнения не зависит от степени уравнения, а от количества переменных, в случае уравнения двух переменных всё просто: нет решений — эллиптический тип, одно решение — параболический, два — гиперболический.
В этой задаче получили одно вещественно решение, следовательно тип уравнения параболический.
Задача поставлена корректно, так как начальное условие $U(x,0)=\varphi_0(x)$, где $\varphi_0(x)$ — случайная функция из $C^2$ не строится на характеристике $ t = \operatorname{const}$.
Всем спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group