Решить уравнение в частных производных и определить его тип

[sleepy_fly]

Здравствуйте. Тут я опишу несколько вопросов по ЗК для уравнения мат.физики.
Дана задача Коши для уравнения в частных производных четвертого порядка:
$U_{t}(x,t)=U_{xxxx}(x,t); \ t>0, x\in\mathbb{R}$
$U(x,0)=x^2.$
Необходимо найти решение и определить тип уравнения.
Решение (на самом деле не нужно, но может кому-то пригодится) —
Находим решение методом операторной экспоненты:
Запишем уравнение как $U_{t}(x,t)=AU(x,t)$
Решение ищем в виде:
$U(x,t)=e^{tA}\varphi(x)$, где $\varphi(x) = x^2$ — наши начальные условия, а $A=\frac{\delta ^4}{\delta x^4}.$ — дифференциальный оператор.
Разложив решение в ряд Тейлора получим $U(x,t)= \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!}A^k\varphi(x) $
Очевидно, что $A^k x^2 = 0, \forall k \geqslant 1$, а при $ k = 0, A^k x^2 \equiv Ex^2 = x^2$, где $E$ — тождественный оператор.
Следовательно находим решение $U(x,t)=\frac{1^0}{0!}x^2 = x^2$.
Решение верное и подходит по начальным условиям.

Далее определяем тип уравнения, тут у меня и возникают вопросы.
$\gamma:\Psi(x,t) = 0$ — характеристика
$(\Psi_x(x,t))^4= 0\Rightarrow$ $ ({\left\lvert\Psi(x,t)\right\rvert}^2)^2= 0 \Rightarrow$ $ \Psi_{x_{k}(x,t)} = 0 \Rightarrow $ $ \Psi(x,t) = \Phi(t) \Rightarrow$ $ t = \operatorname{const}$ — характеристики. (Вопрос: верно ли находить подобным образом?)
Одна вещественная характеристика в уравнении четвертого порядка — уравнение параболического типа. (Вопрос: это верно?)
Вопрос: Корректно ли поставлена задача? Я думаю да, так как у нас нет начального условия вида $U_t(x,0)=\varphi_1(x).$
Буду благодарен за подсказки, и советы.

[Red_Herring]

Решение разумеется найдено верное, но
1) Задача Коши в направлении $t>0$ для этого оператора плохо поставлена и оператор $e^{At}$ плохо определен.
2) Даже если бы он был хорошо определен (как при $t<0$) решение в виде ряда некорректно из-за неограниченности оператора.

ПС Разумеется если мы говорим о "разумном" пространстве функций

3) К какому из трёх классических типов подходит ур-ние (если подходит)?

[sleepy_fly]

Всё же я не могу понять почему оператор $e^{At}$ будет плохо определен. Или же это из-за того что решение из $C^2$?
1)Уравнение подходит к параболическому типу, так как вещественных характеристик меньше чем степень уравнения, моё мнение.
2)Всё что я напридумывал — ложь, и задача не корректна?
Склоняюсь к первому варианту.

[Red_Herring]

1) Посмотрите на осциллирующие решения $u=e^{\omega^4 t+i\omega x}$ с $\omega \gg 1$

2) Точка зрения, что к параболическому типу относится то что "вещественных характеристик меньше чем степень уравнения" это точка зрения алгебраиста-формалиста (тогда туда пойдет и Шредингер и $u_t=u_{xxx}$ принципиально отличны. На самом деле оно параболическое в направлении $t <0$. Сравним с $u_t=-u_{xx}$ у которого осциллирующие решения $u=e^{\omega^2 t+i\omega x}$

[sleepy_fly]

Глянув на осциллирующие решения не понял ничего, так как не имел счастья изучать что это такое.
Теперь я запутался окончательно. Мне необходимо дать чисто формальный ответ по типу уравнения.
Немного почитав и подумав, задался вопросом, корректно ли поставлена задача? Ведь наше начальное условие $U(x,0)=x^2$ задано на характеристике, следовательно задача поставлена некорректно. Решение будет либо не единственно, либо его нет.
Спасибо за советы, но пока остановлюсь на варианте — параболический тип.

[sleepy_fly]

Собственно подумал и решил.
Ответы на вопросы:
Находить характеристики таким способом верно. Меня не поправили, но всё же максимальное количество вещественных решений характеристического уравнения не зависит от степени уравнения, а от количества переменных, в случае уравнения двух переменных всё просто: нет решений — эллиптический тип, одно решение — параболический, два — гиперболический.
В этой задаче получили одно вещественно решение, следовательно тип уравнения параболический.
Задача поставлена корректно, так как начальное условие $U(x,0)=\varphi_0(x)$, где $\varphi_0(x)$ — случайная функция из $C^2$ не строится на характеристике $ t = \operatorname{const}$.
Всем спасибо.