Вариационка, изгибание палки, стационарное положение

[Red_Herring]

dbequi в сообщении #988742 писал(а):

Да, опечатался, но всё равно непонятно

Ну прочтите: длина палки $L+\frac{1}{2}\int_0^1 u'{}^2\,dx=1$; тогда $1-L= \frac{1}{2}\int_0^1 u'{}^2\,dx$ показывает насколько согнутая палка короче чем несогнутая (по горизонтали) и это расстояние!

[dbequi]

Red_Herring в сообщении #988750 писал(а):

dbequi в сообщении #988742 писал(а):

Да, опечатался, но всё равно непонятно

Ну прочтите: длина палки $L+\frac{1}{2}\int_0^1 u'{}^2\,dx=1$; тогда $1-L= \frac{1}{2}\int_0^1 u'{}^2\,dx$ показывает насколько согнутая палка короче чем несогнутая (по горизонтали) и это расстояние!

Да, я это и не понимаю, почему расстояние от расслабленной длины до текущей нужно умножать на силу, которая прикладывается?
Если давить на пружину в её расслабленном состоянии, то есть когда такое расстояние 0, то она изменит длину, например, значит и потенциальная энергия будет не 0...

[Red_Herring]

Потому что сила на расстояние! Это как раз работа внешней силы. Это, кстати, не пружина.

[dbequi]

А в чем разница с пружиной?..

[Alex-Yu]

dbequi в сообщении #989368 писал(а):

Если давить на пружину в её расслабленном состоянии,

Давить на пружину "в её расслабленном состоянии" невозможно! Потому, что как только давим, так сразу и не "расслабленное состояние". И если сила постоянна (это существенно), то работа, совершенная силой --- это сила умножить на перемещение. И с пружиной все точно так же. Энергия пружины при заданной силе это $kx^2/2 - Fx$. Не верите, хотите сказать, что $kx^2/2$? Это энергия при заданном смещении $x$ (при этом силу можно найти как производную от энергии по $x$), а $ kx^2/2 - Fx$ --- при заданной силе $F$. Преобразование Лежандра... Заметьте, что минимум по $x$ от $kx^2/2 - Fx$ как раз и соответствует $F=kx$, как и должно быть по школьной физике. Естественно, можно взять плюс вместо минуса, при этом просто меняется то, какое направление силы считается положительным.

[Red_Herring]

dbequi
Задача странная. И даже не потому что я нигде ее не видел, а потому что решение (см выше) либо $u=0$ либо коллапс. Поэтому я (математик), Alex-Yu (физик) и Oleg Zubelevich (механик) пытались понять откуда такой функционал мог вообще возникнуть. Другого объяснения нет. Вполне возможно, что эту задачу как одномерную ставить на самом деле вообще нельзя, т.е. надо рассматривать 3х мерную систему упругости. Но это явно не то, что преподаватель от Вас требует. Можете у него/нее поинтересоваться, как такой ф-л получается

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #989510 писал(а):

Задача странная. И даже не потому что я нигде ее не видел, а потому что решение (см выше) либо $u=0$ либо коллапс.

В конце концов стало ясно, что задача нормальная. Только, ИМХО, сложноватая для первой "пробы пера" в вариационном анализе. В такой (линейной, те квадатичная энергия) это просто задача об эйлеровой неустойчивости. Пока сила меньше порога, просто $u=0$ (небольшое сжатие не в счет). А как больше --- неустойчивость и разрушение стержня. Важная задача в строительной механике, между прочем.

Если учеть нелинейность (но надо разобраться какую именно), то можно рассмотреть случай, когда несколько решений. В частности типа лука (из которого стрелами стреляют, а не того, который едят ).

[dbequi]

Вроде саму задачу-то у меня получилось решить, если функционал для потенциальной энергии правильный (но это же что-то вроде квадратичного приближения потенциальной энергии, а не сама она? Я до сих пор плохо понимаю, как нас могут устраивать приближения, ведь от маленьких неточностей всё может радикально поменяться, и результат для такого приближения смысла не имеет? И мы ещё почему-то считали, что $u''$ и $u'$ маленькие, хотя у какой-нибудь дуги это не так). У меня тоже при любом из соединений получилось, что только одно решение $u=0$, то есть получается, если давить с постоянной силой на любой профиль кроме прямого, стационарного состояния не получить

-- 13.03.2015, 15:53 --

Alex-Yu в сообщении #989451 писал(а):

Давить на пружину "в её расслабленном состоянии" невозможно! Потому, что как только давим, так сразу и не "расслабленное состояние". И если сила постоянна (это существенно), то работа, совершенная силой --- это сила умножить на перемещение. И с пружиной все точно так же. Энергия пружины при заданной силе это $kx^2/2 - Fx$. Не верите, хотите сказать, что $kx^2/2$? Это энергия при заданном смещении $x$ (при этом силу можно найти как производную от энергии по $x$), а $ kx^2/2 - Fx$ --- при заданной силе $F$. Преобразование Лежандра... Заметьте, что минимум по $x$ от $kx^2/2 - Fx$ как раз и соответствует $F=kx$, как и должно быть по школьной физике. Естественно, можно взять плюс вместо минуса, при этом просто меняется то, какое направление силы считается положительным.

Я всё же не понимаю, откуда это всё берётся.. Мне странно, что потенциальная энергия, когда мы давим на пружину, зависит только от сдвига, который уже есть, причем линейно

[Alex-Yu]

dbequi в сообщении #989707 писал(а):

Вроде саму задачу-то у меня получилось решить, если функционал для потенциальной энергии правильный (но это же что-то вроде квадратичного приближения потенциальной энергии, а не сама она? Я до сих пор плохо понимаю, как нас могут устраивать приближения, ведь от маленьких неточностей всё может радикально поменяться

В физике всегда (!!!) все (!!!) уравнения являются приближенными. И всегда есть возможность, что при каких-то условиях они радикально неверны. Но есть и условия, когда они дают вполне разумное приближение.

Если хотите иметь дело только с уравнениями, справеливыми всегда, то на пушечный встрел не подходите к физике. И вообще к реальному миру. Тогда живите в мире абстрактных фантазий, не имеющих к реальному миру никакого отношения.

-- Пт мар 13, 2015 19:02:00 --

dbequi в сообщении #989707 писал(а):

Мне странно,

Мало ли кому что странно... Здесь уже ничем помочь не могу.

-- Пт мар 13, 2015 19:05:46 --

dbequi в сообщении #989707 писал(а):

И мы ещё почему-то считали, что $u''$ и $u'$ маленькие, хотя у какой-нибудь дуги это не так

Ну решите без этих приближений. Вполне можно сделать. Хотя и посложнее будет. Кстати, уравнения все равно будут приближенными. Хотя бы потому, что палка --- это не линия, это трехмерное тело. Взять полные 3-мерные уравнения теории упругости? Они тоже приближенные, хотя бы потому, что никакой сплошной среды в реальном мире нет (а уж линейной среды без дисперсии и подавно), все тела имеют атомную структуру. Эту "башню" приближений можно продолжать до бесконечности, атомная структура вовсе даже не "последняя точка".

[dbequi]

Хорошо, понял. Про пружину я имел в виду, что если это как-то по-другому можно объяснить, через какой-нибудь интеграл по пружине, я бы лучше понял

[Alex-Yu]

dbequi в сообщении #989725 писал(а):

что если это как-то по-другому можно объяснить, через какой-нибудь интеграл по пружине, я бы лучше понял

Может и можно, но я не знаю как. Почитайте книги, может найдете более для себя подходящее. Ключевое слово у Вас есть : пробразования Лежандра. В термодинамике очень часто используется, в частности. Собственно, то, что названо энергией --- это термодинамический потенциал. А обозвать это энергией --- некий жаргон. Хотя сама энергия в точном смысле --- тоже термодинамический потенциал, один из многих разных. Переход от одного термодинамического потенциала к другому как раз и делается с помощью той или иной версии преобразования Лежандра.

[Red_Herring]

Только лук (из которого стреляют) не изгибают силой направленной в торец. Это скорее легкая но прочная колонна на которую сверху давят. И надо учесть уширение колонны

\begin{tikzpicture} \fill[gray] (0,0) rectangle (1,4); \fill[gray] (5.5,0) .. controls (5,1.75) .. (5.5,3.5) -- (6.5, 3.5) .. controls (7,1.75).. (6.5,0); \draw[blue, line width=5, ->] (6,4)--(6,3.5) node[right] {Сила}; \end{tikzpicture}

Слева—ненагруженная, а справа нагруженная колонны.

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #989807 писал(а):

Только лук (из которого стреляют) не изгибают силой направленной в торец.

Как это не изгибается??? Именно изгибается, причем именно такой силой. Другое дело, что он сам не изогнется под действием такой силы (сила меньше порога устойчивости Эйлера). Здесь несколько решений: неизогнутая палка и разными способами изогнутая. Т.е. его сначала нужно изогнуть, а потом можно отпустить, изогнутое состояние будет поддерживаться ИМЕННО ТАКОЙ силой. Естественно, здесь нужен нелинейный дифур. С квадратичной энергией такого не получить. Минимум энергии НЕ ЕДИНСТВЕННЫЙ.

А то, что Вы нарисовали, это совсем другая (и тоже возможная) задача. Она проще: получится дифур второго, а не четвертого порядка. Я, кстати, рекомендовал ТС ее решить, даже функционал энергии написал (там в "несиловом" слагаемом квадрат ПЕРВОЙ производной, а не второй, а "силовое слагаемое" СОВСЕМ другое. ).

-- Пт мар 13, 2015 21:55:43 --

Red_Herring в сообщении #989807 писал(а):

И надо учесть уширение колонны

Можно не учитывать, просто взять соответствующий упругий модуль, в котором эффект Пуассона (об этом Вы и говорите) уже учтен (модуль Юнга). Впрочем, бочкообразной формы при этом не будет (она вообще только в очень специальном случае получится: когда торцы не могут скользить по давящим поверхностям), будет изменение попреречного сечения, одинаковое везде.

С зажатыми по радиусам концами, пожалуй, без трехмерной (точнее двумерной с учетом аксиальной симметрии) задачи уже не обойтись.

[Red_Herring]

Разумеется, бочка получается при отсутствии скольжения (или небольшом скольжении) и разумеется при абсолютном скольжении это можно учесть. Что касается лука, то мне кажется, что его изгибают когда натягивают тетиву не силой в торец, а силой приложенной к торцам но под углом, плюс по центру

\begin{tikzpicture} \draw [line width=10] (0,0) arc (30:150:5); \draw[red, thick,->] (0,0)--(-1,-1.7) node[above]{\qquad \qquad Сила}; \draw[red, thick,->] (-8.7,0)--(-7.7,-1.7) node[above]{Сила\qquad \qquad \qquad }; \draw[red, thick,->] (-4.35,2.5)--(-4.35,4.5) node[above]{Сила\qquad \qquad \qquad }; \end{tikzpicture}

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #989860 писал(а):

Что касается лука, то мне кажется, что его изгибают когда натягивают тетиву не силой в торец, а силой приложенной к торцам но под углом, плюс по центру

Не-а. Там есть тетива, которая тянет чисто горизонтально (по картинке). И больше нет НИКАКИХ сил. И причем здесь "когда натягивают тетиву"? Натянули уже и все, отпустили. Мы же рассматриваем РАВНОВЕСИЕ! Лук с уже натянутой тетивой --- вполне равновесная штука. А уж как ту тетиву натягивали --- это дело десятое, к задаче просто не относится.


Вам, как математику, пожалуй, будет ближе формальный подход. Хотя он и не совсем простой. Напишите "силовое" слагаемое как Вы и писали, но без приближенного представления корня. Слагаемое с второй производной тоже уточните (вторая производная есть кривизна только при малых $u$, уберите это приближение, возмите точное выражение). Потом проварьируйте и решите нелинейный дифур. Будет несколько решений: и $u=0$ и $u \ne 0$. Одновременно, при одних и тех же условиях (но не при любых условиях)! Хотя, конечно, здесь очень много возни. Как еще тот дифур решать... Ну можно численно (хотя это тоже здесь нетривально). Впрочем, поскольку задачу про лук можно решить иначе, не столь прямолинейно, то дифур, видимо, как-то должен решаться в элементарных функциях. Вот только насколько будет просто придумать, как это сделать....