Как записать уравнение Эйлера в релятивистской форме?

[evgeniy]

Уравнение Эйлера записывается в виде
$ \frac{d\vec p}{dt}+[\vec \Omega,\vec p]=\vec F\eqno(1) $
$ \frac{d\vec M}{dt}+[\vec \Omega,\vec M]=\vec K\eqno(2) $

Возникает вопрос, как их записать в релятивистской инвариантной форме
Предлагается ввести тензор частоты вращения и записать эти уравнения в виде
$ E^{ikl}/\sqrt{g}\Omega_k u_l=\Omega^{il} u_l$
При этом уравнения Эйлера приобретет вид
$ [\delta^{il}\frac{d}{ds}+\Omega^{il}]p_l=F_i$
Далее распространяем тензор с пространственной частью, где тело движется с переменной скоростью, на четырехмерный тензор, другой системе координат, двигающейся по отношению к первой системе координат с постоянной скоростью $ V_k$. Делаем преобразование тензора вращения и получаем релятивистское уравнение вращения Эйлера. При этом для определения локальной скорости в движущейся системе координат, нужно воспользоваться формулой преобразования скоростей.
Вопрос правильно ли это и как получить инвариантное уравнение при криволинейном движении или уравнении ОТО? Как запишется уравнение движения в ОТО с учетом вращения, при определенном метрическом тензоре вращения тела?
Еще один вопрос, момент импульса сферы сохраняется в поле центральных сил, так как равен
$ [\vec r_2 -\vec r_1,\frac{G m_1 m_2}{|\vec r_2-\vec r_1|^3} (\vec r_2-\vec r_1)]=0$
Следовательно момент импульса у сферических тел сохраняется, что следует из уравнения (2), которое в главных осях тела имеет вид
$ I_1\frac{\Omega^1}{dt}+(I_3-I_2)\Omega_2 \Omega_3=0$
Значит, для сферических тел с гравитационным взаимодействием нужно использовать систему (1), с заданной скоростью вращения, вместо обычных уравнений движения Ньютона, каковы значения поправок у планеты Меркурий.
Еще один вопрос, как изменится система уравнений для множества тел, изменится только правая часть, а левая останется неизменной?

[Munin]

В релятивистской физике не бывает твёрдых тел, и соответственно, никаких уравнений Эйлера в принципе.

[evgeniy]

Простая задача, как выглядит вращение конечного тела в пространстве Минковского в другой инерциальной системе координат. Если решение уравнения ОТО для твердого тела невозможно, то описать конечное твердое тело в другой инерциальной системе отсчета возможно.
Как изменить уравнение Эйлера, какие члены добавить, чтобы оно описывалось ОТО?

[Munin]

evgeniy в сообщении #989262 писал(а):

Простая задача, как выглядит вращение конечного тела в пространстве Минковского в другой инерциальной системе координат.

Решается она без уравнения Эйлера. Решение см. ЛЛ-2 главу 1 (кинематические величины) и главу 2 (механические динамические величины).

Вращение не должно быть быстрым, иначе тело будет деформироваться ("диск Эренфеста"), и его нельзя будет описать без упоминания деформаций и/или сил упругости.

И ОТО здесь ни при чём и не нужно.

[evgeniy]

Munin в сообщении #989282 писал(а):

Решается она без уравнения Эйлера. Решение см. ЛЛ-2 главу 1 (кинематические величины) и главу 2 (механические динамические величины).

Посмотрел эти главы. Конкретно в каком параграфе, в какой из них описано влияние силы на изменение импульса с учетом собственного вращения тела, как это следует из уравнения Эйлера, причем в разных инерциальных системах отсчета. Если бы у ЛЛ2 использовался тензор вращения, тогда можно пересчитывать скорости из одной инерциальной системы отсчета в другую, но у ЛЛ2 используется 4 тензор момента и понятие тензора вращения вспомогательное и не определено. Укажите конкретно в каком параграфе описывается пересчет скорости вращения и релятивистские формулы пересчета скорости вращения из одной инерциальной системы координат в другую, что должно выполняться. И не приводите формулу пересчета локальной скорости в разных системах отсчета. Вращение они не описывают. Должна быть определена связь скоростей вращения в разных системах координат. Я уже не говорю об инвариантном описании уравнения Эйлера в другой системе отсчета, это задача максимум.

[Munin]

evgeniy в сообщении #989302 писал(а):

Конкретно, в какой из них описано влияние силы на изменение импульса с учетом собственного вращения тела

А зачем его учитывать? Сила на импульс влияет независимо от вращения тела. Это написано в § 9.

evgeniy в сообщении #989302 писал(а):

Если бы у ЛЛ2 использовался тензор вращения, тогда можно пересчитывать скорости из одной инерциальной системы отсчета в другую, но у ЛЛ2 используется 4 тензор момента и понятие тензора вращения вспомогательное и не определено.

Как ни странно, тензор момента тут ни при чём, потому что чтобы пересчитать скорости из одной ИСО в другую, используются преобразования Лоренца.

evgeniy в сообщении #989302 писал(а):

Укажите конкретно в каком параграфе описывается пересчет скорости вращения

Для начала, пересчитывать нечего: то, что вращение в одной ИСО, не является вращением в другой ИСО.

На второе, надо не искать какое-то место в каком-то параграфе, а прочитать все указанные параграфы, чтобы наступило минимальное понимание, что вообще происходит.

evgeniy в сообщении #989302 писал(а):

Я уже не говорю об инвариантном описании уравнения Эйлера в другой системе отсчета, это задача максимум.

Вам же сказали, что оно не нужно (и его нет).

[evgeniy]

Munin в сообщении #989306 писал(а):

Конкретно, в какой из них описано влияние силы на изменение импульса с учетом собственного вращения тела
А зачем его учитывать? Сила на импульс влияет независимо от вращения тела. Это написано в § 9.

Сила на импульс влияет независимо от вращения тела в случае, если описывается точечное тело. Раз при малой скорости вращения скорость вращения оказывает воздействие на импульс тела, см. уравнение Эйлера, значит и при релятивистском эффекте она сказывается на импульсе.

Munin в сообщении #989306 писал(а):

evgeniy в сообщении #989302

писал(а):
Если бы у ЛЛ2 использовался тензор вращения, тогда можно пересчитывать скорости из одной инерциальной системы отсчета в другую, но у ЛЛ2 используется 4 тензор момента и понятие тензора вращения вспомогательное и не определено.
Как ни странно, тензор момента тут ни при чём, потому что чтобы пересчитать скорости из одной ИСО в другую, используются преобразования Лоренца.

Преобразование Лоренца хорошо пересчитывают поступательную скорость движения, для вращательного движения они не приспособлены, локальная скорость меняется по направлению. Я прочитал параграф у Коренева, "Тензорное исчисление", и там вводится понятие псевдотензора вращения, равного $\Omega^{lk}=\frac{1}{c}E^{lnk}/\sqrt{g}\omega_n$. С помощью этого псевдотензора можно инвариантно относительно трехмерных поворотов определить трехмерную скорость в другой системе отсчета. Как обобщить на четырехмерное пространство я не знаю. Я думал, Вы знаете.

Munin в сообщении #989306 писал(а):

evgeniy в сообщении #989302

писал(а):
Я уже не говорю об инвариантном описании уравнения Эйлера в другой системе отсчета, это задача максимум.
Вам же сказали, что оно не нужно (и его нет).

Уравнение справедливое при малых скоростях движения должно быть справедливо и при больших скоростях движения, только нужно отказаться от понятия абсолютно твердого тела и попытаться ввести новые члены, учитывающие деформацию и возможно что-то еще. Ведь уравнение Эйлера прекрасно работает для малых скоростей, учитывая вращение тела, значит существует уравнение движения, предельным случаем которого является уравнение Эйлера. Т.е. нужно вычислить ковариантную производную от скорости с учетом вращения и деформации и изменением момента инерции. Просто отмахиваться от уравнения Эйлера не конструктивно, оно описывает вращение тела, а без этого изменение скорости не опишешь.

evgeniy в сообщении #989326 писал(а):

Вам же сказали, что оно не нужно (и его нет).

Просто словам я не верю, нужны аргументы.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: пока сюда.

[Munin]

evgeniy в сообщении #989326 писал(а):

Сила на импульс влияет независимо от вращения тела в случае, если описывается точечное тело.

Нет, если тело описывается как система частиц. Любое тело можно так описать. А в релятивистской физике - обязательно только так.

evgeniy в сообщении #989326 писал(а):

Преобразование Лоренца хорошо пересчитывают поступательную скорость движения, для вращательного движения они не приспособлены

Нет. Они пересчитывают скорость движения точки. Дальше вы берёте все точки тела, и для каждой пересчитываете её скорость.

Внимание: в результате получается не вращательное движение. Вращательное движение - это миф, который в релятивистской физике исчезает.

evgeniy в сообщении #989326 писал(а):

Я прочитал параграф у Коренева, "Тензорное исчисление", и там вводится понятие псевдотензора вращения, равного $\Omega^{lk}=\frac{1}{c}E^{lnk}/\sqrt{g}\omega_n$. С помощью этого псевдотензора можно инвариантно относительно трехмерных поворотов определить трехмерную скорость в другой системе отсчета. Как обобщить на четырехмерное пространство я не знаю. Я думал, Вы знаете.

Я знаю, и я сказал вам, но вы не хотите слушать. Что ж, ваши проблемы.

evgeniy в сообщении #989326 писал(а):

Уравнение справедливое при малых скоростях движения должно быть справедливо и при больших скоростях движения

Нет. От того, что вам этого хочется, это не становится так.

Уравнения Эйлера - это следствия уравнений Ньютона. Уравнения Ньютона в релятивистском случае остаются (только в другом виде), а вот уравнений Эйлера больше нет. По причинам, которые я уже три раза назвал.

evgeniy в сообщении #989326 писал(а):

Ведь уравнение Эйлера прекрасно работает для малых скоростей, учитывая вращение тела, значит существует уравнение движения, предельным случаем которого является уравнение Эйлера.

Да, существует. Это уравнение движения - уравнение Ньютона в релятивистском случае. Оно никаким секретом не является, а написано в ЛЛ-2.

evgeniy в сообщении #989326 писал(а):

Просто отмахиваться от уравнения Эйлера не конструктивно

От него не отмахиваются, его исследовали, и обнаружили, что оно исчезает.

evgeniy в сообщении #989326 писал(а):

Просто словам я не верю, нужны аргументы.

Я вам дал ссылку на 56 страниц аргументов.

Я считаю, что пока вы с ними не ознакомитесь, продолжать разговор не имеет смысла. Я буду жаловаться модераторам на агрессивное невежество.

[evgeniy]

Munin в сообщении #989391 писал(а):

evgeniy в сообщении #989326

писал(а):
Просто словам я не верю, нужны аргументы.
Я вам дал ссылку на 56 страниц аргументов.

Я считаю, что пока вы с ними не ознакомитесь, продолжать разговор не имеет смысла. Я буду жаловаться модераторам на агрессивное невежество.

Я с этими параграфами давно знаком, и не надо говорить тривиальные вещи, просто вращение в этих параграфах не описывается, описывается одна или множество точечных частиц, а вращения нет.

Munin в сообщении #989391 писал(а):

evgeniy в сообщении #989326

писал(а):
Просто отмахиваться от уравнения Эйлера не конструктивно
От него не отмахиваются, его исследовали, и обнаружили, что оно исчезает.

Где и когда. Исследовали для бесконечных тел, при использовании не инвариантных формул.

Munin в сообщении #989391 писал(а):

evgeniy в сообщении #989326

писал(а):
Сила на импульс влияет независимо от вращения тела в случае, если описывается точечное тело.
Нет, если тело описывается как система частиц. Любое тело можно так описать. А в релятивистской физике - обязательно только так.

Тело содержит $10^{23}$ количества элементарных частиц, или точечных тел, причем они описываются квантовой механикой, а не законом Ньютона, Вы же хотите писать преобразование Лоренца для всех точек и приводите формулы для закона Ньютона для элементарных частиц. Т.е. реальное тело при больших скоростях Вы не опишите. Хотя есть реальные инвариантные формулы уравнения движения Эйлера для макротел, я их вывел, причем в результате использования этих формул получится конечный импульс со скоростью меньше скорости света. Причем при малых скоростях движения они переходят в классическое уравнение Эйлера. Причем формула$ \vec V=\vec V_0+[\vec \omega,\vec r]$ не релятивистская, а существует релятивистская формула сложения скоростей

Munin в сообщении #989391 писал(а):

evgeniy в сообщении #989326

писал(а):
Преобразование Лоренца хорошо пересчитывают поступательную скорость движения, для вращательного движения они не приспособлены
Нет. Они пересчитывают скорость движения точки. Дальше вы берёте все точки тела, и для каждой пересчитываете её скорость.

Внимание: в результате получается не вращательное движение. Вращательное движение - это миф, который в релятивистской физике исчезает.

Почему же не вращательное движение, получается инвариантное уравнение с тензором вращательного движения, аналог символа Кристоффеля.
Формулы релятивистского уравнения Эйлера следующие
$\frac{d p^l}{ds}+\Gamma^l_{nm} p^n p^m/mc+\Omega^l_{nm} p^n p^m/mc=F^l $
$\frac{d M^l}{ds}+\Omega^l_{nm} M^n M^m/mc=K^l $
$\Gamma^l_{nm}$ это символ Кристоффеля, тензор вращения определяется в инерциальной системе координат $\Omega^l_{n 0}=g_{nk}E^{lmk}\omega_m$ обе величины имеют размерность обратной длины
а далее пересчитывается с помощью преобразования Лоренца. Причем получается, что этот псевдотензор симметричен по нижним индексам, и анти симметричен по верхнему и нижнему индексу.
При решении этих уравнений получается конечный импульс и момент импульса.
Формула $ \vec V=\vec V_0+[\vec \omega,\vec r]$ переходит в трехмерную формулу сложения скоростей
$\frac{d x_0^l}{ds}+\Omega^{l n} x_n=\frac{dx^l}{ds}=\frac{dx^l}{cdt}/\sqrt{1-\sum_p(\frac{dx^p}{cdt})^2} $
где $\frac{d x_0^l}{ds}$ поступательная скорость частицы, при этом величина скорости $\frac{dx^l}{dt}$ меньше скорости света.

[Munin]

evgeniy в сообщении #989685 писал(а):

Я с этими параграфами давно знаком, и не надо говорить тривиальные вещи, просто вращение в этих параграфах не описывается, описывается одна или множество точечных частиц, а вращения нет.

Частицы могут вращаться вокруг друг друга. Вращение - частный случай произвольного движения, а в этих параграфах описано произвольное движение частиц.

Если такие тривиальные вещи вам не знакомы, то боюсь, я бессилен.

evgeniy в сообщении #989685 писал(а):

Где и когда. Исследовали для бесконечных тел, при использовании не инвариантных формул.

Что за чушь?

evgeniy в сообщении #989685 писал(а):

Тело содержит $10^{23}$ количества элементарных частиц, или точечных тел, причем они описываются квантовой механикой, а не законом Ньютона, Вы же хотите писать преобразование Лоренца для всех точек и приводите формулы для закона Ньютона для элементарных частиц. Т.е. реальное тело при больших скоростях Вы не опишите.

Квантовая механика тоже подчиняется СТО и преобразованиям Лоренца (точнее, есть приближённая нерелятивистская квантовая механика, и более точная релятивистская). Закон Ньютона присутствует и в классической механике, и в СТО, и в квантовой механике:

$$m\dot{\mathbf{v}}=\dot{\mathbf{p}}=-\nabla U=\mathbf{f},\qquad m\dfrac{du^\mu}{ds}=\dfrac{dp^\mu}{ds}=g^\mu,\qquad m\widehat{\dot{\mathbf{v}}}=\widehat{\dot{\mathbf{p}}}=-\nabla U.$$

evgeniy в сообщении #989685 писал(а):

Причем получается, что этот псевдотензор симметричен по нижним индексам, и анти симметричен по верхнему и нижнему индексу.

По индексам разной вариантности определять симметричность или антисимметричность вообще некорректно.

----------------

Боюсь, пора в "Пургаторий".

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Пургаторий (Ф)»
Причина переноса: да, пожалуй, уже пора.