Многогранник в трехмерном пространстве

[lusia95]

Существует ли в трехмерном пространстве многогранник( не обязательно выпуклый), все грани которого-шестиугольники?

[ИСН]

В-Р+Г=2, говорят.

[ET]

ИСН в сообщении #988768 писал(а):

В-Р+Г=2, говорят.

Это для недырявых (подобных сфере) вроде как нет?
Около года назад мне приходила в голову такая задачка, осталась уверенность что такое таки существует. попробую описать, что тогда надумал:

Возьмем тетраэдр. Спилим у него вершины. Получится многогранник 4 стороны которого - шестиугольники и 4 - треугольники
Идея в том, чтобы взять до кучи подобных кирпичиков и замкнууть их друг с другом треугольниками
При этом надо
0. Чтобы спил соседних вершин не касался друг друга
1. При стыковке треугольники были одинковыми
2. Грани на стыковках имели между собой угол, иначе получится не 6угольник, а что-то другое

Следующий шаг: возьмем 3 (одинаковых, правильных) тетраэдра. Выделим у каждого по одной стороне. Расположим их в пространстве так, чтобы эти стороны образовывали равносторонний треугольник (ну и чтобы биссекторные плоскость к этим сторонам совпадали). Чуть продавим их (симметрично) друг в друга.
Из соображений симметрии (1) выполняется. 2 тоже пока выполняется.
Получилась такая конструкция с дыркой, у которой надо еще спилить 6 углов (3 с одной стороны от той биссекторной плоскости и 3 с другой)

Ну, тут можно спилить эти углы плоскостью параллельной той биссекторной и ставить такие звенья друг на друга. Но тогда эта конструкция не замкнется, да и (2) не будет выполняться

Поэтому возьмем некий двугранный угол $\frac{2\pi}n$ Для достаточно больших $n$ он должен быть. Расположим его так, чтобы его его биссекторная плоскость совпадала с вышеупомянутой биссекторной плоскостью к тем сторонам и чтобы спиливал он ото всех 6ти вершин помаленьку. Ну и осталось составить из этих звеньев замкнутую фигню
Из соображений симметрии (1) выполняться будет. Но вот хуже с (2). Не знаю, не вижу все до конца, лень все обсчитывать, но что-то мне подсказывает, что там может быть континуальное число расположений такого угла, в то время как (2) не выполняется только для конечного

[ИСН]

ET в сообщении #989208 писал(а):

ИСН в сообщении #988768 писал(а):

В-Р+Г=2, говорят.

Это для недырявых (подобных сфере) вроде как нет?

Да, разумеется. (Кому как; для меня по умолчанию многогранник - это хоть не обязательно выпуклый, но всё-таки и не дырявый.) У тора будет 0, значит, его можно. Это должно быть как-то банально. В Вашу конструкцию не вчитывался.

[Sender]

Из трёх шестиугольников склеиваем кольцо, потом из таких колечек склеиваем трубку и замыкаем в тор.

[ИСН]

Рано мы радовались; всё хуже. Фуллерены и нанотрубки - это хорошо, но у них шестиугольники не совсем плоские (у трубок - всегда, у этих - как повезёт). Мелочь, казалось бы... Мда.
Если в каждой вершине сходится по 3 грани, то сумма плоских углов при ней в среднем $360^\circ$. Больше она быть никак не может. Значит, не может и меньше. Значит, ровно. Значит, все стыки - плоские. Приехали.
А если где-то по 4, то нам начинает не хватать того же ресурса, которого не хватало на шаре, пока мы его не продырявили в тор.

[hippie]

ИСН в сообщении #989528 писал(а):

А если где-то по 4, то нам начинает не хватать того же ресурса, которого не хватало на шаре, пока мы его не продырявили в тор.

А кто сказал, что нужно строить тор? Вроде бы очевидно, что в ответе должен получиться не тор, а крендель.


В заторенном пространстве с нулевой кривизной можно построить многогранник со сколь угодно большим числом граней, у которого все грани квадратные, а в каждое вершине сходится 6 граней. Соответственно, должен существовать двойственный к нему многогранник, у которого все грани — шестиугольники, а в каждой вершине сходится 4 грани. Но можно ли его вытащить из заторенного пространства в обычное…

[ET]

ИСН в сообщении #989528 писал(а):

Если в каждой вершине сходится по 3 грани, то сумма плоских углов при ней в среднем $360^\circ$. Больше она быть никак не может.

Это для выпуклых граней. В том, что предложил Sender есть невыпуклые шестиугольники (или даже все они - невыпуклые), хоть он этого кажется и не понимает. Возьмите пирамидку. Поставьте на стол. Рассмотрите вершину (лежащую на столе). В ней сходятся две грани с углами по $60^\circ$ и одна с углом $300^\circ$ (та грань, которая стол) - сумма получается больше $360^\circ$. Вот у него таких стыков очень много или даже все они такие. (У меня-то везде при каждой вершине по 4 грани сходятся, но и дырок очень много)
Хотя там все непонятно. Возьмем две треугольные трубки. Повернем одну из них вокруг оси на $60^\circ$ и потом ее ось относительно второй на какой-то угол. Как они будут стыковаться? Если так, что на каждой грани каждой из трубок пересечение будет выглядеть в виде двух отрезков, то его решение вроде должно существовать.

[Munin]

ET в сообщении #989208 писал(а):

Но тогда эта конструкция не замкнется

А зачем, собственно? Пусть будет некомпактный многогранник, бесконечной решёткой идущий по всему пространству. Только для этого вместо тетраэдров удобней взять октаэдры (тогда решётку можно взять кубическую, и не думать об этом).

-- 13.03.2015 15:12:28 --

Кажется, можно и компактный, но с бесконечным числом граней.

[ИСН]

ET в сообщении #989604 писал(а):

ИСН в сообщении #989528 писал(а):

Если в каждой вершине сходится по 3 грани, то сумма плоских углов при ней в среднем $360^\circ$. Больше она быть никак не может.

Это для выпуклых граней.

Good point; да, из этого что-то может и вырасти. А может и нет.
Утверждаюсь во мнении, что топикстартеру было вполне достаточно моего первого сообщения, а дальше мы копаем чисто для себя. Ну что, надо продолжать копать.

[TOTAL]

Из двух шестиугольников складываем квадрат. Затем из шести квадратов складываем куб, который зачисляем в двенадцатигранники с шестиугольными гранями.

[ET]

Munin в сообщении #989717 писал(а):

ET в сообщении #989208 писал(а):

Но тогда эта конструкция не замкнется

А зачем, собственно? Пусть будет некомпактный многогранник, бесконечной решёткой идущий по всему пространству. Только для этого вместо тетраэдров удобней взять октаэдры (тогда решётку можно взять кубическую, и не думать об этом).

А затем, что можно ведь и замкнуть, и я показал, как
Кроме того, там еще (2) не выполняется, потому то, что получилось трудно назвать многогранником (некоторые соседние грани не образуют угла между собой, те лежат на одной плоскости, так что шестиугольники склеиваются сначала в 10угольники, потом в большеугольники и до бесконечности)

[ИСН]

Ну, собрал наконец.

Вложение:

hex-body.gif [ 314.85 Кб | Просмотров: 0 ]

-- менее минуты назад --

Как и конструкция ET, оно состоит из усечённых тетраэдров (только некоторые из них сильно искажены). Как и конструкция hippie, имеет в каждой вершине по 4 грани. И в отличие от них обоих, оно не "вроде как-то так можно", а вот, в руках.
А как использовать потенциально годный совет про впуклые грани, я не додумался.

[Munin]

Браво!!!

[ИСН]

Забодай меня комар, да ведь это же я изобрёл bitruncated 5-cell.