2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нужна помощь с диффурами
Сообщение10.03.2015, 21:58 


10/06/14
45
Ребят, нужна помощь с дифференциальными уравнениями для получения зачета. Преподаватель дает вопросы по примерам которые я решал и я не могу найти на них ответы.

1. Уравнения допускающие понижения порядка:
$4\cdot x^2\cdot y^3\cdot y''=x^2-y^4$
Мы проверяем на обобщенную однородность. Думаю, расписывать как это делается не стоит.
В итоге - уравнение обобщенно однородное, мы делаем замену $x=e^t, y=z\cdot e^{mt}$
Вопрос преподавателя: почему мы вообще делаем именно такую замену? При такой замене $x$ всегда положительный, почему вариант отрицательного $x$ не рассматривается?

2. Неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами:
$y''+4y=2\tg(x)$
Мы рассматривает характеристическое уравнение $y''+4y=0$.
Вопрос: что это вообще за характеристическое уравнение, то есть в чем его суть, и можем ли мы найти общее решение так: $y''=2\tg(x)$. Если можем, то как и что изменится?

Заранее спасибо за ответы, если будут неравнодушные люди, которые будут помогать, то тему буду дополнять другими вопросами :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна помощь с диффурами
Сообщение10.03.2015, 22:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Co1l в сообщении #988371 писал(а):
При такой замене $x$ всегда положительный, почему вариант отрицательного $x$ не рассматривается?
Можете рассмотреть этот вариант и подобающую ему замену (я не вникал, что это будет; возможно, $x=-e^t$). Или можете рассмотреть всю картинку в комплексных числах, когда разница между положительным и отрицательным исчезает. Какая разница. Там выйдет то же самое.
Co1l в сообщении #988371 писал(а):
что это вообще за характеристическое уравнение, то есть в чем его суть
Суть в том, что у всех уравнений с разными правыми частями (зависящими от $x$) есть кое-что общее, и выявить его можно именно так.
Co1l в сообщении #988371 писал(а):
и можем ли мы найти общее решение так: $y''=2\tg(x)$
Можем, но это будет общее решение другого уравнения, не имеющего отношения к нашему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна помощь с диффурами
Сообщение10.03.2015, 22:15 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Цитата:
Вопрос: что это вообще за характеристическое уравнение, то есть в чем его суть

Мы ищем общее решение в виде экспоненты (в том числе комплексной). После подстановки производных этого абстрактного решения в уравнение экспоненты сокращаются, и остается многочлен - характеристическое уравнение. Его корни - это коэффициенты при переменной в экспоненте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна помощь с диффурами
Сообщение10.03.2015, 22:25 


10/06/14
45
Цитата:
Co1l в сообщении #988371 писал(а):
и можем ли мы найти общее решение так: $y''=2\tg(x)$
Можем, но это будет общее решение другого уравнения, не имеющего отношения к нашему.

Ну вот смотрите, в исходном уравнении мы просто зануляем правую часть и ищем характеристическое ур-ние получившегося, т.е.
$y''+4y=2\tg(x)$ $\to$ $y''+4y=0$
Почему если мы возьмем $y''-2\tg(x)=0$ - это будет решение уже другого уравнения?

З.Ы. За предыдущие ответы спасибо! Вроде более менее прояснилось :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна помощь с диффурами
Сообщение10.03.2015, 22:42 


29/08/13
225
Co1l в сообщении #988371 писал(а):
Вопрос преподавателя: почему мы вообще делаем именно такую замену?

Потому что замена $t = \frac {y^2} {x} ,\ z = \frac{1} {2} \ln|x|$ есть выпрямляющий диффеоморфизм (ну не на всей плоскости, а чуть хитрее) для оператора симметрии той группы, инвариантность относительно которой Вы назвали обобщённой однородностью. Как следствие, в новых переменных из уравнения обязана исчезнуть зависимая переменная $z$ - это мотивация. Ну а модуль в таком варианте замены делает своё дело для отрицательных $x$.
Co1l в сообщении #988371 писал(а):
что это вообще за характеристическое уравнение, то есть в чем его суть

Суть в том, что разность любых двух решений исходного уравнения является решением вот этого вот однородного уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна помощь с диффурами
Сообщение10.03.2015, 22:58 


10/06/14
45
Спасибо всем ответившим! Вроде бы разобрался. Возможно скоро еще будет пара вопросов :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group