Нужна помощь с диффурами

[Co1l]

Ребят, нужна помощь с дифференциальными уравнениями для получения зачета. Преподаватель дает вопросы по примерам которые я решал и я не могу найти на них ответы.

1. Уравнения допускающие понижения порядка:
$4\cdot x^2\cdot y^3\cdot y''=x^2-y^4$
Мы проверяем на обобщенную однородность. Думаю, расписывать как это делается не стоит.
В итоге - уравнение обобщенно однородное, мы делаем замену $x=e^t, y=z\cdot e^{mt}$
Вопрос преподавателя: почему мы вообще делаем именно такую замену? При такой замене $x$ всегда положительный, почему вариант отрицательного $x$ не рассматривается?

2. Неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами:
$y''+4y=2\tg(x)$
Мы рассматривает характеристическое уравнение $y''+4y=0$.
Вопрос: что это вообще за характеристическое уравнение, то есть в чем его суть, и можем ли мы найти общее решение так: $y''=2\tg(x)$. Если можем, то как и что изменится?

Заранее спасибо за ответы, если будут неравнодушные люди, которые будут помогать, то тему буду дополнять другими вопросами :)

[ИСН]

Co1l в сообщении #988371 писал(а):

При такой замене $x$ всегда положительный, почему вариант отрицательного $x$ не рассматривается?

Можете рассмотреть этот вариант и подобающую ему замену (я не вникал, что это будет; возможно, $x=-e^t$). Или можете рассмотреть всю картинку в комплексных числах, когда разница между положительным и отрицательным исчезает. Какая разница. Там выйдет то же самое.

Co1l в сообщении #988371 писал(а):

что это вообще за характеристическое уравнение, то есть в чем его суть

Суть в том, что у всех уравнений с разными правыми частями (зависящими от $x$) есть кое-что общее, и выявить его можно именно так.

Co1l в сообщении #988371 писал(а):

и можем ли мы найти общее решение так: $y''=2\tg(x)$

Можем, но это будет общее решение другого уравнения, не имеющего отношения к нашему.

[Nurzery[Rhymes]]

Цитата:

Вопрос: что это вообще за характеристическое уравнение, то есть в чем его суть

Мы ищем общее решение в виде экспоненты (в том числе комплексной). После подстановки производных этого абстрактного решения в уравнение экспоненты сокращаются, и остается многочлен - характеристическое уравнение. Его корни - это коэффициенты при переменной в экспоненте.

[Co1l]

Цитата:

Co1l в сообщении #988371 писал(а):

и можем ли мы найти общее решение так: $y''=2\tg(x)$

Можем, но это будет общее решение другого уравнения, не имеющего отношения к нашему.

Ну вот смотрите, в исходном уравнении мы просто зануляем правую часть и ищем характеристическое ур-ние получившегося, т.е.
$y''+4y=2\tg(x)$ $\to$ $y''+4y=0$
Почему если мы возьмем $y''-2\tg(x)=0$ - это будет решение уже другого уравнения?

З.Ы. За предыдущие ответы спасибо! Вроде более менее прояснилось :)

[VanD]

Co1l в сообщении #988371 писал(а):

Вопрос преподавателя: почему мы вообще делаем именно такую замену?

Потому что замена $t = \frac {y^2} {x} ,\ z = \frac{1} {2} \ln|x|$ есть выпрямляющий диффеоморфизм (ну не на всей плоскости, а чуть хитрее) для оператора симметрии той группы, инвариантность относительно которой Вы назвали обобщённой однородностью. Как следствие, в новых переменных из уравнения обязана исчезнуть зависимая переменная $z$ - это мотивация. Ну а модуль в таком варианте замены делает своё дело для отрицательных $x$.

Co1l в сообщении #988371 писал(а):

что это вообще за характеристическое уравнение, то есть в чем его суть

Суть в том, что разность любых двух решений исходного уравнения является решением вот этого вот однородного уравнения.

[Co1l]

Спасибо всем ответившим! Вроде бы разобрался. Возможно скоро еще будет пара вопросов :)