Вариационка, изгибание палки, стационарное положение

[dbequi]

Здравствуйте, пытаюсь решить свою первую задачу по вариационке, на самом деле, пока пытаюсь переформулировать математически:
Горизонтальная палка зафиксирована между стеной и вашей рукой, вы как-то прикладываете к ней силу и нужно узнать, когда будет стационарное положение
Рассматриваются все 4 возможных крепления, но я до момента где это важно пока ещё не дошёл =)

Понятно, что стационарное положение -- это когда ничего не двигается, то есть производная потенциальной энергии по времени равна нулю, поэтому сначала нужно посчитать потенциальную энергию. Ещё тут считается, что гравитацией пренебрегаем, а вся палка однородная, и в интересующих ситуациях её можно считать графиком функции.

Понятно, что потенциальная энергия это то, что возникает в каждой точке из-за изогнутости кривой, то есть зависит от кривизны, а точнее от её модуля, плюс что-то, что зависит от силы, приложенной к концу палки. Но на этом мои знания физики заканчиваются!) Мне сказали, что потенциальная энергия в итоге получится $\int \limits_0^1 {(a u''^2-\lambda u'^2)\ dx}$, где $\lambda$ это приложенная сила. Как такая формула может быть верна у меня нет идей, то есть что я рассказал это всё что я пока понимаю в формулировке. Объясните пожалуйста, как тут дальше двигаться! Надеюсь сегодня дорешать свою первую задачу =))

[Alex-Yu]

dbequi в сообщении #988232 писал(а):

Объясните пожалуйста, как тут дальше двигаться!

Рассмотреть изменения $u(x) \to u(x)+\delta u(x)$, с бесконечно малой функцией $\delta u(x)$, найти линейную по $\delta u(x)$ (но не по производным этой функции!) часть изменения интеграла. Потребовать, чтобы она равнялась нулю для всех $\delta u(x)$. Это дасть искомое дифуравнение, которое нужно решить. Все. Весь вариационный анализ в трех строчках... Хм... А что тут еще скажешь

Кстати, интеграл записан неверно. Ну ясно же, что добавка от силы --- это интеграл $\int \lambda u dx$, Откуда бы здесь квадрат и производная... Вывод первого слагаемого --- дело довольно сложное. Можно посмотреть у Ландау-Лифшица в т.7. Вроде действительно что-то такое должно быть, т.к. для пластинки получается двумерное билапласово уравнение (это я помню). Для палки, следовательно, должно получится оно же одномерное. А варьирую такие штучки я в уме

[Red_Herring]

Насчёт силы приложенной к концу у Вас явно неверно! В то время как энергия деформации будет действительно $\int_0^1 au^{\prime\prime\,2}\,dx$ второй член будет (предполагая что палка вдоль оси $x$ и $u(x)$ это отклонение от оси в том же направлении, что и сила, приложенная к "свободному" концу $x=1$,то вклад будет $-\lambda u(1)$.

Явно следует предполагать, что конец $x=0$ не свободный и не шарнирный, а зажатый. Тогда $u(0)=u'(0)=0$. (На свободном конце нет условий у вариационной задачи, а на шарнирном $u(0)=0$).

[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Euler–Bernoulli_beam_theory[/url]

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #988244 писал(а):

Явно следует предполагать,

Могут быть и свободные концы. Правда тогда должен быть интеграл от силы нулевой. Иначе решения просто нет. Вообще тут бы следовало рассмотреть целую кучу случаев: зажатый конец, шарнирный, свободный. И комбинации этого для двух концов. Из граничных членов, возникающих при интегрировании по частям, получаются граничные условия к дифуру.

[dbequi]

Большое спасибо, что сказали про силу... Я тут уже столько протупил, думая, как такое могло получаться =) Ссылку сейчас почитаю!

Насчет крепления, там предполагались случаи шарнирно-шарнирного ($u(0)=u(1)=0$), жестко-жесткого ($u(0)=u'(0)=u(1)=u'(1)=0$), шарнирного-жесткого и жестко-свободного, где $u(0)=u'(0)=0$

У меня вот ещё такой вопрос... Когда там рассматриваешь уже $u+\delta u$, то есть производную интеграла от $u+th$ по $t$ в точке 0, вот эта сама $h$ должна принадлежать к классу $C^2$ и чтобы на краях нули были, а что касается производных? В случае жесткого крепления нужно ведь потребовать нули на производных?

[Red_Herring]

Я предполагал, что сила приложена к концу, если же сила приложена не в точке, а распределена, то вклад будет $-\int \lambda(x)u(x)\,dx$, где $\lambda(x)$ будет линейная плотность силы. В пределе "в точке $c$, но не в конце" $-\lambda u(c)$.

-- 10.03.2015, 09:22 --

dbequi в сообщении #988258 писал(а):

У меня вот ещё такой вопрос... Когда там рассматриваешь уже $u+\delta u$, то есть производную интеграла от $u+th$ по $t$ в точке 0, вот эта сама $h$ должна принадлежать к классу $C^2$ и чтобы на краях нули были, а что касается производных? В случае жесткого крепления нужно ведь потребовать нули на производных?

Если конец свободный то $\delta u$ в конце не обязана быть равной $0$, а если жестко то и она, и ее производная $=0$ в конце

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #988262 писал(а):

Если конец свободный то $\delta u$ в конце не обязана быть равной $0$,

Но может в т.ч. и быть равной нулю. Она же, эта $\delta u$, ЛЮБАЯ. Из случая вариаций, исчезающих на концах, получаем дифур. Потом, взяв более общий случай, получаем граничные условия к нему.

[dbequi]

Я вот тут подумал, похоже я ничего не понимаю в своей задаче =)
- я ведь правильно понимаю, что разумно рассматривать только вопрос: как выглядит кривая, когда всё стабилизируется, если перпендикулярно к стенке давить с силой $\lambda$?
- когда всё стабилизируется, потенциальная энергия при небольших изменениях $u$ будет только возрастать, то есть производная (по Гато?) потенциальной энергии в $u$ должна быть 0, если $u$ -- стационарное положение?
- при этом это обязательное, но не необходимое условие?
- сила там всё-таки прикладывается в направлении оси x, то есть стержень "вжимается" в стенку, а какая тогда возникнет потенциальная энергия, она возникнет в точке или вообще?

я могу что-то понимать совсем не так, поэтому поправьте если вы что-то по-другому понимаете =)

[Alex-Yu]

dbequi в сообщении #988359 писал(а):

- я ведь правильно понимаю, что разумно рассматривать только вопрос: как выглядит кривая, когда всё стабилизируется, если перпендикулярно к стенке давить с силой $\lambda$?
- когда всё стабилизируется, потенциальная энергия при небольших изменениях $u$ будет только возрастать, то есть производная (по Гато?) потенциальной энергии в $u$ должна быть 0, если $u$ -- стационарное положение?
- при этом это обязательное, но не необходимое условие?

Да. Но только сила изгибающая палку. А стенка это вообще что-то, чего раньше не было. Определитесь. А лучше картинку нарисуйте.

Впрочем, еще: условие "обязательное, но не необходимое" ---- это еще что такое?

-- Ср мар 11, 2015 01:53:20 --

dbequi в сообщении #988359 писал(а):

- сила там всё-таки прикладывается в направлении оси x, то есть стержень "вжимается" в стенку, а какая тогда возникнет потенциальная энергия, она возникнет в точке или вообще?

А-а-а-а... Тогда вообще все не так (выражение для энергии). Но сила всегда дает слагаемое, линейное (но не квадратичное) по $u$.

[dbequi]

Alex-Yu в сообщении #988367 писал(а):

Да. Но только сила изгибающая палку. А стенка это вообще что-то, чего раньше не было. Определитесь.

Прошу прощения, забыл сказать об этом... Изначально палка горизонтальная и как бы заключена между стенкой и точкой, куда прикладывают силу

Alex-Yu в сообщении #988367 писал(а):

А-а-а-а... Тогда вообще все не так (выражение для энергии). Но сила всегда дает слагаемое, линейное (но не квадратичное) по $u$.

Вот я так и понял, сейчас попробую разобраться как в итоге получается

-- 10.03.2015, 23:11 --

Вопрос очень простой, а где можно почитать как потенциальная энергия изменится от того что сила действует на крайнюю точку?

[Alex-Yu]

dbequi в сообщении #988383 писал(а):

Изначально палка горизонтальная и как бы заключена между стенкой и точкой, куда прикладывают силу

При такой силе под интегралом слагаемого с силой вообще не будет. Причем тут то, что делается не в точке приложения силы?

-- Ср мар 11, 2015 02:15:04 --

dbequi в сообщении #988383 писал(а):

Вопрос очень простой, а где можно почитать как потенциальная энергия изменится от того что сила действует на крайнюю точку?

В школе. Работа силы --- это сила умножить на перемещение. Соответсвующая добавка к энергии.

-- Ср мар 11, 2015 02:19:25 --

dbequi в сообщении #988383 писал(а):

Вот я так и понял, сейчас попробую разобраться как в итоге получается

У Вас первое слагаемое под интегралом записано для изгиба палки. Это меня и ввело в заблуждение. А если палка деформируется повдоль, то будет первая производная. Плотность упругой энергии пропорциональна квадрату деформации. Деформация в таком простом случае --- это производная от смещения $u$ по координате. В общем виде это тензор второго ранга, естественно. Но если все повдоль...

[dbequi]

Цитата:

Плотность упругой энергии пропорциональна квадрату деформации

Да, как я понимаю первое слагаемое зависит от квадрата кривизны, а та выражается через $u''$, правда кривизна это $\frac{u''}{(1+u'^2)^{3/2}}$, а там знаменателя такого нет, не вижу почему его можно было опустить

[Alex-Yu]

dbequi в сообщении #988407 писал(а):

Да, как я понимаю первое слагаемое зависит от квадрата кривизны,

Какая еще кривизна, если палка деформируется повдоль? Ничего не понятно... Так повдоль, или поперек? Если поперек, то знаменатель можно заменить на единицу (все равно сломается намного раньше, чем второе слагаемое станет сравнимо с единицей).

[Oleg Zubelevich]

а разве в вариационный принцип должны входить реакции идеальных связей?

[Red_Herring]

Curiosier and curiosier.

Т.е. надо ввести вертикальное и горизонтальное смещения $u(x)$ и $v(x)$ и посчитать энергию деформации палки исходя из них (а именно: разбив палку на горизонтальные слои некоторые из которых растягиваются, а некоторые сжимаются). И добавить энергию произведенную силой.

(Оффтоп)

Мне сегодня ночной класс учить. Будет время—ночью (EDT) посмотрю